całka podwójna

[ponter3]

Cześć mam problem z taką oto całką:

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{y}^{1} \frac{1}{1+x^4} \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

obliczam całkę po \(\displaystyle{ \mbox{d}y}\)

\(\displaystyle{ \int 1-(1+x^4)\mbox{d}y = \frac{y}{1+x^4}}\)

i potem licząc określona \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{1+x^4}\mbox{d}y = \frac{1}{1+x^4}}\)
więc zostaje mi \(\displaystyle{ \int\limits_{y}^{1} \frac{1}{1+x^4}\mbox{d}x}\)

Co jest źle, jak to zrobi?

[tito1977]

najpierw trzeba policzyc całke po zmiennej x

[ponter3]

A jakaś podpowiedź? Części albo jakie podstawienie?

[aalmond]

rozłóż na ułamki proste

[ponter3]

Jeszcze może jakaś podpowiedź?

[aalmond]

\(\displaystyle{ x ^{4} +1 = (x ^{2} +1) ^{2} - 2x ^{2} = ...}\) i dalej wzór na różnicę kwadratów

[ponter3]

ok

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^4}= \frac{- \frac{ \sqrt{2} }{4}x+ \frac{1}{2} }{x^2 -\sqrt{2}x+1 }+\frac{ \frac{ \sqrt{2} }{4}x+ \frac{1}{2} }{x^2+ \sqrt{2}x+1 }}\)

mam rozłożone na ułamek prosty..

teraz moje pytanie odnośnie całki

\(\displaystyle{ \int\frac{\sqrt{2}x}{x^2-\sqrt{2}x+1}}\)

bo z dwóch pozostałych wyjdą logarytmy

[aalmond]

podstawienie za mianownik:


\(\displaystyle{ x^2-\sqrt{2}x+1 = p}\)

[ponter3]

Jakoś nie mogę zauważyć związku...

[aalmond]

\(\displaystyle{ x^2-\sqrt{2}x+1 = p \\
(2x - \sqrt{2}) \mbox{d}x = \mbox{d}p}\)

Licznik:

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot (2x - \sqrt{2} + \sqrt{2})=\frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot (2x - \sqrt{2}) + 1}\)

i masz dwie całki.

[ponter3]

Nie ma może łatwiejszego sposobu na rozwiązanie jej?