Prosiłbym o sprawdzenie czy dobrze zrobiłem zadanie podane w temacie. Funkcja określona jest na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{D}=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 :x \neq 0, y \neq 0, z \neq 0\}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=x+\frac{y^2}{4x}+\frac{z^2}{y}+\frac{2}{z}}\)
1. Liczę pochodne cząstkowe funkcji
\(\displaystyle{ f'(x)=1- \frac{y^2}{4x^2} \\
f'(y)=\frac{y}{2x}-\frac{z^2}{y^2} \\
f'(z)=\frac{2z}{y}-\frac{2}{z^2}}\)
i następnie przyrównuje do \(\displaystyle{ 0}\) z czego mi wychodzi \(\displaystyle{ z=1 \vee z=-1; y=1 \vee y=-1; x=\frac{1}{2 }\vee x=-\frac{1}{2}}\)
Zgadza się i czy trzeba liczyć coś jeszcze?
podstawiam potem \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2},1,1 \right) =4}\) maksimum oraz \(\displaystyle{ f \left( -\frac{1}{2},-1,-1 \right) =-4}\) minimum
Znależć wszystkie minima i maksima lokalne funkcji
-
Amrath
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 21 lut 2011, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oborniki śląskie
- Podziękował: 5 razy
Znależć wszystkie minima i maksima lokalne funkcji
Ostatnio zmieniony 27 sie 2011, o 14:36 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
aalmond
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Znależć wszystkie minima i maksima lokalne funkcji
Na podstawie czego dochodzisz do takich wniosków?podstawiam potem \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2},1,1 \right) =4}\) maksimum oraz \(\displaystyle{ f \left( -\frac{1}{2},-1,-1 \right) =-4}\) minimum
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Znależć wszystkie minima i maksima lokalne funkcji
Dostajesz takie punkty z zerowymi pochodnymi:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2},1,1\right),\left(-\frac{1}{2},1,1\right),\left(\frac{1}{2},-1,-1\right),\left(-\frac{1}{2},-1,-1\right)}\)
Przy Twoim zapisie wynikałoby, że np. \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2},1,-1\right)}\) też pasuje, a tak nie jest.
Samo zerowanie się pochodnych nie wystarczy. Muszą jeszcze być spełnione dodatkowe warunki dla takich wyznaczników :
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}f_{xx}\end{vmatrix}>0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{vmatrix} >0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}&f_{xz}\\f_{yx}&f_{yy}&f_{yz}\\f_{zx}&f_{zy}&f_{zz}\end{vmatrix}>0}\) - minumum
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}f_{xx}\end{vmatrix}<0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{vmatrix} >0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}&f_{xz}\\f_{yx}&f_{yy}&f_{yz}\\f_{zx}&f_{zy}&f_{zz}\end{vmatrix}<0}\) - maksimum
Jeśli te wyznaczniki się zerują, to wtedy to kryterium nie rozstrzyga i trzeba inaczej sprawdzić, czy w tych punktach jest ekstremum.
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2},1,1\right),\left(-\frac{1}{2},1,1\right),\left(\frac{1}{2},-1,-1\right),\left(-\frac{1}{2},-1,-1\right)}\)
Przy Twoim zapisie wynikałoby, że np. \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2},1,-1\right)}\) też pasuje, a tak nie jest.
Samo zerowanie się pochodnych nie wystarczy. Muszą jeszcze być spełnione dodatkowe warunki dla takich wyznaczników :
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}f_{xx}\end{vmatrix}>0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{vmatrix} >0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}&f_{xz}\\f_{yx}&f_{yy}&f_{yz}\\f_{zx}&f_{zy}&f_{zz}\end{vmatrix}>0}\) - minumum
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}f_{xx}\end{vmatrix}<0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{vmatrix} >0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}&f_{xz}\\f_{yx}&f_{yy}&f_{yz}\\f_{zx}&f_{zy}&f_{zz}\end{vmatrix}<0}\) - maksimum
Jeśli te wyznaczniki się zerują, to wtedy to kryterium nie rozstrzyga i trzeba inaczej sprawdzić, czy w tych punktach jest ekstremum.