kryterium d'Alemberta - granica równa 1

[kamilrun]

Witam, piszę z takim zapytaniem: rozwiązywałem przykład:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}}\) \(\displaystyle{ \frac{n!e^n}{n^n}}\) i licząc granicę z \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\) otrzymałem, że wynosi ona 1. W związku z tym rozważam w takiej sytuacji inną opcję zaproponowaną przez powyższego pana, a mianowicie sprawdzam sam stosunek \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\) i jak jest on \(\displaystyle{ \ge}\) 1 to ciąg jest rozbieżny.. i tu pojawia się moje pytanie ponieważ nie wiem jak rozwiązać ten problem, bo ja traktuję to jak granicę mimo, że nie ma limesa, a tak przecież nie wolno wtedy (!). Proszę o wytłumaczenie tego jak to policzyć :

\(\displaystyle{ \frac{e n^n}{(n+1)^n}}\) (wersja już uproszczona)

Pozdrawiam!

[Lorek]

Skorzystaj z definicji \(\displaystyle{ e}\) (takiej ze szczegółami).

[kamilrun]

chodzi o to?? \(\displaystyle{ e= \lim_{n \to +\infty} \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^n}\)

I dalej mimo to nie wiem jak to rozwiązać. Prosiłem na początku też o wytłumaczenie/sprostowanie mojego myślenia jak takie przykłady rozwiązywać, a nie tylko dać odpowiedź jak to rozwiązać i tyle.

[Lorek]

Dokładniej to chodzi o pewną własność ciągu \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^n}\).

Chodzi o ten warunek \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1}\) czy o co?

[kamilrun]

Tak, chodzi o ten warunek a dokładniej o to, że ja rozwiązując coś takiego traktuję to jakby te 'eny' zmierzały dalej do nieskończoności, a przecież tak nie można, bo tam już nie ma limesa i chodzi mi o to, żeby ktoś mi wytłumaczył jakoś jak to faktycznie powinno się rozumieć i rozwiązywać takie rzeczy.

[Lorek]

Rozumieć tak jak jest. Bo jak dla każdego \(\displaystyle{ n}\) masz \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ a_n>0}\) to ciąg jest rosnący (wystarczy w tym ilorazie pomnożyć przez \(\displaystyle{ a_n}\)) I o to w tej metodzie chodzi, bo stąd masz, że dla każdego \(\displaystyle{ n:}\) \(\displaystyle{ a_n\ge a_1=e}\) (w tym przykładzie). I teraz wystarczy przypomnieć sobie warunek konieczny zbieżności szeregu i sprawdzić czy może zachodzić.

[kamilrun]

Aha, czyli tego typu rzeczy już traktujemy jak.. równania lub w naszym przypadku nierówność ?

Chyba już rozumiem o co chodzi, dzięki serdeczne Lorek!