Czy pole wektorowe jest potencjalne

[patricia__88]

Niech \(\displaystyle{ P(x,y), \ Q(x,y)}\) będą funkcjami klacy \(\displaystyle{ C^2}\) określonymi w całej płaszczyźnie. Przypuśćmy, że dla każdej krzywej zamkniętej \(\displaystyle{ \Gamma}\) całka
\(\displaystyle{ \int_{ \Gamma} P(x+a,y+b)dx+Q(x+a,y+b)dy}\)
jest niezależna od liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Czy pole wektorowe \(\displaystyle{ F=(P,Q)}\) jest potencjalne? Uzasadnij odpowiedź.

[Chromosom]

dokonaj zamiany zmiennych

\(\displaystyle{ \begin{cases}u=x+a\\v=y+b\end{cases}}\)

taka zamiana oznacza przesunięcie układu współrzędnych. Wartość całki nie ulega zatem zmianie przy dowolnych przesunięciach krzywej względem układu współrzędnych. Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie obszarem ograniczonym przez \(\displaystyle{ \Gamma}\); po podzieleniu obszaru na \(\displaystyle{ n}\) obszarów normalnych względem obu osi zajdzie równość

\(\displaystyle{ \oint\limits_\Gamma P(u,v)\,\text du+Q(u,v)\,\text dv=\sum\limits^n_{i=1}\left(\ \oint\limits_{\partial A_i}P(u,v)\,\text du+Q(u,v)\,\text dv\right)}\)

po skorzystaniu z twierdzenia Greena dla każdego z obszarów normalnych otrzymamy równość

\(\displaystyle{ \sum\limits^n_{i=1}\left(\ \oint\limits_{\partial A_i}P(u,v)\,\text du+Q(u,v)\,\text dv\right)=\sum\limits^n_{i=1}\iint\limits_{A_i}\left(\frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}\right)\,\text du\,\text dv}\)

nietrudno zauważyć, że dla niezerowej wartości wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}}\) (czyli dla pola wirowego, zatem niepotencjalnego) wartość całki możenie ulegać zmianie ze względu na przesunięcia, a będzie tak przykładowo w przypadku dowolnej stałej wartości tego wyrażenia. Przykładem takiego pola może być \(\displaystyle{ P(x,y)=2x+y,\ Q(x,y)=2x+y}\), które nie jest potencjalne, ale spełnia warunki zadania.

[patricia__88]

Wielkie dzięki za rozwiązanie, chociaż kompletnie tego zadania nie rozumiem. Ale to już mały problem;p