Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu
Obliczyć całkę \(\displaystyle{ \iint_{S}x^2dy \wedge dz}\) po powierzchni zewnętrznej sześcianu \(\displaystyle{ 0 \leqslant x \leqslant a, \ 0 \leqslant y \leqslant a, \ 0 \leqslant z \leqslant a}\). (Sprawdzić, czy wybrana parametryzacja jest zgodna z orientacją).
\(\displaystyle{ \iint_{S}x^2dydz= \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a}2xdxdydz= \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a}2\frac{x^2}{2}|^{a}_{0}dydz= \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a}a^2dydz= \int\limits_{0}^{a}a^2y|^{a}_{0}dz= \int\limits_{0}^{a}a^3dz=a^4}\)
Czy to zadanie jest dobrze rozwiązane?
\(\displaystyle{ \iint_{S}x^2dydz= \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a}2xdxdydz= \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a}2\frac{x^2}{2}|^{a}_{0}dydz= \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a}a^2dydz= \int\limits_{0}^{a}a^2y|^{a}_{0}dz= \int\limits_{0}^{a}a^3dz=a^4}\)
Czy to zadanie jest dobrze rozwiązane?
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu
A właściwie to dlaczego w tym miejscu różniczkujemy to wyrażenie?patricia__88 pisze:\(\displaystyle{ \iint_{S}x^2dydz= \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a}2xdxdydz}\)
I jak sprawdzić parametryzację, jeżeli nie mamy z czego policzyć Jacobianu?
Ostatnio zmieniony 25 sie 2011, o 20:35 przez patricia__88, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu
A no ok już rozumiem, a jeśli chodzi o tą parametryzację? Jak ją sprawdzić, bo znam tylko metodę z Jacobianem, a tutaj nie mamy z czego wyznaczyć Jacobianu.
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu
Wpisz w wyszukiwarce "orientacja powierzchni kawałkami gładkiej" - wyniki są zadowalające. Ponadto w przypadku powierzchni zamkniętych, z jaką w tym przypadku mamy do czynienia, i jakie rozważa się w twierdzeniu Gaussa-Ostrogradskiego, stronę zewnętrzną przyjmuje się jako tę o dodatniej orientacji.
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu
W zadaniu mam podpowiedź, że można skorzystać z tw. Stokesa, jak można to twierdzenie zastosować w tym przypadku? I jakimi innmi sposobami można sprawdzić zgodność parametryzacji? "Suche" definicje z google nie za dużo mi dały.
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu
Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Stokesa (jego ogólnej postaci, wiążącej całkę po zbiorze z całką po brzegu zbioru) zatem jest to jego zastosowanie. Zgodność parametryzacji możesz zbadać obliczając współrzędne wektora normalnego do powierzchni. Taki wektor musi być skierowany od strony ujemnej do dodatniej, więc w niektórych przypadkach trzeba zmienić jego znak - wtedy parametryzacja nie jest zgodna z orientacją.
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu
czyli najpierw muszę wyznaczyć równania parametryczne \(\displaystyle{ x, \ y, \ z}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu
Jak to zrobić skoro nawet nie mamy podanych punktów przez które ta powierzchnia przechodzi?
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu
wykonaj rysunek przedstawiający ten sześcianpatricia__88 pisze:powierzchni zewnętrznej sześcianu \(\displaystyle{ 0 \leqslant x \leqslant a, \ 0 \leqslant y \leqslant a, \ 0 \leqslant z \leqslant a}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy