całka po krzywej Vivaniego
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
całka po krzywej Vivaniego
Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie krzywą określoną przez warunki:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=a^2\\x^2+y^2=ax\\z \geqslant 0 \\a>0}\)
Znajdź parametryzację krzywej \(\displaystyle{ K}\) przebieganej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara dla obserwatora umieszczonego na osi \(\displaystyle{ x}\) dla \(\displaystyle{ x>a}\). Oblicz całkę skierowaną po krzywej \(\displaystyle{ K}\) z formy \(\displaystyle{ w=z^2dy}\).
Pierwszy problem mam w tym, że jest to dość skomplikowany rysunek i nie wiem jak go narysować.
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=a^2\\x^2+y^2=ax\\z \geqslant 0 \\a>0}\)
Znajdź parametryzację krzywej \(\displaystyle{ K}\) przebieganej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara dla obserwatora umieszczonego na osi \(\displaystyle{ x}\) dla \(\displaystyle{ x>a}\). Oblicz całkę skierowaną po krzywej \(\displaystyle{ K}\) z formy \(\displaystyle{ w=z^2dy}\).
Pierwszy problem mam w tym, że jest to dość skomplikowany rysunek i nie wiem jak go narysować.
Ostatnio zmieniony 25 sie 2011, o 15:12 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: zadanie bardziej pasuje do "rachunku całkowego", zmiana nazwy tematu
Powód: zadanie bardziej pasuje do "rachunku całkowego", zmiana nazwy tematu
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
całka po krzywej Vivaniego
patricia__88 pisze:Pierwszy problem mam w tym, że jest to dość skomplikowany rysunek i nie wiem jak go narysować.
Przekształć to równanie tak żeby otrzymać równanie walca, czyli odejmij stronami \(\displaystyle{ ax}\). Taka forma nazywana jest krzywą Vivaniego - masz prawo tego nie wiedzieć, niemniej jednak zmieniłem nazwę tematu by lepiej opisywała zadanie.patricia__88 pisze:\(\displaystyle{ x^2+y^2=ax}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
całka po krzywej Vivaniego
Zatem \(\displaystyle{ \left (x- \frac{a}{2} \right)^2+y^2=\left ( \frac{a}{2} \right)^2}\)
Ok w takim razie to drugie równanie jest kulą. Spróbuje to narysować i tutaj wkleić-- 25 sie 2011, o 18:17 --
Jednak nadal nie rozumiem która to krzywa
Ok w takim razie to drugie równanie jest kulą. Spróbuje to narysować i tutaj wkleić-- 25 sie 2011, o 18:17 --
Jednak nadal nie rozumiem która to krzywa
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
całka po krzywej Vivaniego
To jest taki walec z zaokrągloną "końcówką" , ścięty kulą. Na Twoim rysunku nie jest to dobrze widoczne, może zobaczysz to lepiej, zaznaczajac koło wielkie tej kuli w płaszczyźnie \(\displaystyle{ XOY}\) (wraz z okręgiem wyznaczonym przez drugie równanie).
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
całka po krzywej Vivaniego
Czy to będzie coś takiego (zaznaczone na czerwono)?
Co dalej należy wykonać, jak znaleźć parametryzację?
Co dalej należy wykonać, jak znaleźć parametryzację?
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
całka po krzywej Vivaniego
Narysuj sobie płaszczyznę XOY. zaznacz w niej koło wielkie tej kuli oraz okrąg wyznaczony przez to drugie równanie. Te dwie figury są styczne wewnętrznie.
Teraz zapomnij na chwilę o kuli. Mamy drugie równanie, ono wyznacza nieskończony walec. Dokładamy \(\displaystyle{ z \ge 0}\) i mamy taki "półnieskończony walec", który ma jedną podstawę na płaszczyźnie XOY ( bo "odcinamy" go płaszczyzną \(\displaystyle{ z=0}\)). Na koniec dokładamy sferę opisaną pierwszym równaniem - obcinamy nią walec z drugiej strony (już nie ma nieskończonej wysokości, siega tylko do powierzchni sfery).
Rysunek wygląda mniej więcej tak:
Uploaded with
Teraz zapomnij na chwilę o kuli. Mamy drugie równanie, ono wyznacza nieskończony walec. Dokładamy \(\displaystyle{ z \ge 0}\) i mamy taki "półnieskończony walec", który ma jedną podstawę na płaszczyźnie XOY ( bo "odcinamy" go płaszczyzną \(\displaystyle{ z=0}\)). Na koniec dokładamy sferę opisaną pierwszym równaniem - obcinamy nią walec z drugiej strony (już nie ma nieskończonej wysokości, siega tylko do powierzchni sfery).
Rysunek wygląda mniej więcej tak:
Uploaded with
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
całka po krzywej Vivaniego
Popatrz od góry na tę krzywą - zobaczysz okrąg. Najpierw wyznacz równania parametryczne \(\displaystyle{ x(t),\,y(t)}\) tego okręgu.patricia__88 pisze:Co dalej należy wykonać, jak znaleźć parametryzację?
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
całka po krzywej Vivaniego
Nie; na rysunku rzeczywiście tak to wygląda, ale w rzeczywistości jest inaczej. Zauważ że rysunek jest przestrzenny. Dokonaj też parametryzacji o której mówiłem
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
całka po krzywej Vivaniego
Mam ciągle problem z tą parametryzacją tak tutaj jak i w innym zadaniu. Czy mogę prosić o jakąś pomoc?
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
całka po krzywej Vivaniego
- poddział definicja; znajdziesz tam równania parametryczne okręgu. Od tego trzeba zacząć, bo inaczej nie uda się rozwiązać zadania. Określ najpierw położenie środka tego okręgu oraz jego promień. Wykonaj rysunek przedstawiający bryłę w rzucie na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxy}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 367
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
całka po krzywej Vivaniego
\(\displaystyle{ x= \frac{a}{2}+ \frac{a}{2}\cos \alpha \\ y= \frac{a}{2}\sin \alpha}\)
Czy to jest dobrze, co dalej?
Czy to jest dobrze, co dalej?
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 12:02 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
całka po krzywej Vivaniego
Bardzo dobrze. Zauważ że górną część powierzchni kuli można opisać równaniem \(\displaystyle{ z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}}\), czyli \(\displaystyle{ z(t)=\sqrt{R^2-\bigl(x(t)\bigr)^2-\bigl(y(t)\bigr)^2}}\); podstaw zatem do tej zależności równania parametryczne i uprość otrzymane wyrażenie.