Ciąg geometryczny, mała wątpliwość

[Mariusz1234]

Między liczby \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ \frac{16}{2187}}\) wstaw trzy liczby tak, by wraz z podanymi liczbami tworzyły ciąg geometryczny.

Moje rozwiązanie :

\(\displaystyle{ a_{1} = 3 \quad \quad \quad \quad n = 5 \quad \quad \quad \quad a_{5} = \frac{16}{2187}}\)


\(\displaystyle{ a_{5} = 3 \cdot q^{5-1} \Leftrightarrow \frac{16}{2187} = 3 \cdot q^{4} \Leftrightarrow q \in \lbrace -\frac{2}{9}, \frac{2}{9} \rbrace}\)


\(\displaystyle{ \hbox{Dla } q = -\frac{2}{9} \quad \quad \quad \hbox{mamy: \ \ \ \ \ }a_{2} = -\frac{2}{3} \\

\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ a_{3} = \frac{4}{27} \\

\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ a_{4} = -\frac{8}{243} \\}\)

\(\displaystyle{ \hbox{Dla } q = \frac{2}{9} \quad \quad \quad \hbox{mamy: \ \ \ \ \ \ \ }a_{2} = \frac{2}{3} \\

\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ a_{3} = \frac{4}{27} \\

\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ a_{4} = \frac{8}{243} \\}\)


Między liczby \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ \frac{16}{2187}}\) należy wstawić liczby \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), \(\displaystyle{ \frac{4}{27}}\), \(\displaystyle{ \frac{8}{243}}\).

Odpowiedzi z podręcznika :

\(\displaystyle{ 3, \frac{2}{3}, \frac{4}{27}, \frac{8}{243}, \frac{16}{2187} \hbox{ \ lub \ } 3, -\frac{2}{3}, \frac{4}{27}, -\frac{8}{243}, \frac{16}{2187}}\)

I teraz moje pytanie, czy autor się pomylił dając dwie odpowiedzi ?

[ares41]

Dlaczego? Przecież Tobie wyszły też dwie możliwości. Nie rozumiem na jakiej podstawie odrzuciłeś jedną z nich.

[Mariusz1234]

No bo ciężko wstawić liczby ujemne pomiędzy dwie liczby dodatnie.

[ares41]

A to niby dlaczego? Przecież jedynym warunkiem jest, aby tworzyły one ciąg geometryczny.

[Mariusz1234]

Ahh rzeczywiście. Zmyliło mnie sam nie wiem co. Sugerowałem się, że te liczby leża na osi liczbowej i muszę koniecznie wybrać liczby z przedziału :
\(\displaystyle{ \left( \frac{16}{2187}, 3 \right)}\)