Całka z odwrotności iloczynu cosinusa i sinusa

[astutus]

Jak obliczyć \(\displaystyle{ \int \frac{1}{\cos ^{4} x \cdot \sin x}\,\text dx}\) ? Po podstawieniu \(\displaystyle{ t = \cos x}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ \int \frac{\text dt}{ t^{4} \cdot \left(1 - t^{2} \right)}}\) i niby mógłbym rozłożyć to na czynniki, ale ze znanego mi sposobu wychodzi mi 6 równań więc pewnie jest jakiś prostszy sposób.

[Crizz]

Pokaż, jak rozkładasz, bo moim zdaniem wychodzi całkiem ładnie.

[aalmond]

wychodzi mi 6 równań

Tak, ale bardzo prostych.

[astutus]

\(\displaystyle{ \frac{1}{t ^{4} (1 - t ^{2} )} = \frac{1}{t ^{4} (1 - t )(1 + t )} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t ^{2} } + \frac{C}{t ^{3} } + \frac{D}{t ^{4} } + \frac{E}{1 - t } + \frac{F}{1 + t}}\)

[aalmond]

Proponuję dwa etapy:

\(\displaystyle{ \frac{At ^{3} +Bt ^{2}+Ct+D }{t ^{4} } + \frac{Et+F}{1-x ^{2} } = \frac{-1}{t ^{4} (1 - t ^{2} )}}\)

[astutus]

Mój błąd równania rzeczywiście okazały się proste, aczkolwiek myślałem, że jest jakiś prostszy sposób.

[aalmond]

Można ewentualnie tak:

\(\displaystyle{ \frac{-1}{t ^{4} (1 - t ^{2} )} = - \frac{t ^{4} +1 -t ^{4} }{t ^{4} (1 - t ^{2} )} = - \frac{t ^{4} +(1 -t ^{2})(1+t ^{2} ) }{t ^{4} (1 - t ^{2} )} = \frac{-1}{1-t ^{2} } - \frac{1+t ^{2} }{t ^{4} }}\)

[Karoll_Fizyk]

Ja zaproponuję równie prosty sposób, lecz z zabawą na funkcjach trygonometrycznych...
\(\displaystyle{ I = \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{ \cos ^{4} x \cdot \sin x } = \int_{}^{} \sec ^{4} x \cdot \csc x \mbox{d}x}\)
Przypomnijmy sobie tożsamość: \(\displaystyle{ \sec ^{2} x = \tg ^{2} x + 1}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \left( \tg ^{2} x + 1 \right) ^{2} \cdot \csc x \mbox{d}x = \int_{}^{} \left( \tg ^{3} x \cdot \sec x + 2 \tg x \cdot \sec x + \csc x \right) \mbox{d}x}\)
Rozkładamy to na trzy całki...
\(\displaystyle{ I = \int_{}^{} \tg ^{3} x \cdot \sec x \mbox{d}x + 2 \int_{}^{} \tg x \cdot \sec x \mbox{d}x + \int_{}^{} \csc x \mbox{d}x}\)
1) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \tg ^{3} x \cdot \sec x \mbox{d}x = ...}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ \tg ^{2} x = \sec ^{2} x - 1}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \left( \sec ^{2} x - 1 \right) \tg x \cdot \sec x \mbox{d}x}\)
Podstawiamy: \(\displaystyle{ u = \sec x}\) , \(\displaystyle{ \mbox{d}u = \sec x \cdot \tg x \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \left( u ^{2} - 1 \right) \mbox{d}u = \frac{1}{3} u ^{3} - u}\)
2) \(\displaystyle{ 2 \int_{}^{} \tg x \cdot \sec x \mbox{d}x}\)
Podstawiamy: \(\displaystyle{ v = \sec x}\) , \(\displaystyle{ \mbox{d}v = \sec x \cdot \tg x \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ 2 \int_{}^{} \mbox{d}v = 2v}\)
\(\displaystyle{ v = u}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ 2v = 2u}\)
3) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \csc x \mbox{d}x = - \ln \left| \ctg x + \csc x \right|}\)
W rezultacie otrzymujemy rozwiązanie postaci:
\(\displaystyle{ I = \frac{1}{3} \sec ^{3} x + \sec x - \ln \left| \ctg x + \csc x \right|}\)

Pozdrawiam!