całka po krzywej Vivaniego

[patricia__88]

Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie krzywą określoną przez warunki:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=a^2\\x^2+y^2=ax\\z \geqslant 0 \\a>0}\)
Znajdź parametryzację krzywej \(\displaystyle{ K}\) przebieganej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara dla obserwatora umieszczonego na osi \(\displaystyle{ x}\) dla \(\displaystyle{ x>a}\). Oblicz całkę skierowaną po krzywej \(\displaystyle{ K}\) z formy \(\displaystyle{ w=z^2dy}\).

Pierwszy problem mam w tym, że jest to dość skomplikowany rysunek i nie wiem jak go narysować.

[Chromosom]

Pierwszy problem mam w tym, że jest to dość skomplikowany rysunek i nie wiem jak go narysować.

\(\displaystyle{ x^2+y^2=ax}\)

Przekształć to równanie tak żeby otrzymać równanie walca, czyli odejmij stronami \(\displaystyle{ ax}\). Taka forma nazywana jest krzywą Vivaniego - masz prawo tego nie wiedzieć, niemniej jednak zmieniłem nazwę tematu by lepiej opisywała zadanie.

[patricia__88]

Nie wiem czy dokładnie o to chodziło:
\(\displaystyle{ x^2+y^2-ax=0}\)

[miki999]

Wskazówka, co dalej: \(\displaystyle{ x^2-ax=\left(x- \frac{a}{2} \right)^2- \frac{a^2}{4}}\)

[patricia__88]

Zatem \(\displaystyle{ \left (x- \frac{a}{2} \right)^2+y^2=\left ( \frac{a}{2} \right)^2}\)
Ok w takim razie to drugie równanie jest kulą. Spróbuje to narysować i tutaj wkleić-- 25 sie 2011, o 18:17 --
Jednak nadal nie rozumiem która to krzywa

[Crizz]

To jest taki walec z zaokrągloną "końcówką" , ścięty kulą. Na Twoim rysunku nie jest to dobrze widoczne, może zobaczysz to lepiej, zaznaczajac koło wielkie tej kuli w płaszczyźnie \(\displaystyle{ XOY}\) (wraz z okręgiem wyznaczonym przez drugie równanie).

[patricia__88]

Czy to będzie coś takiego (zaznaczone na czerwono)?

Co dalej należy wykonać, jak znaleźć parametryzację?

[Crizz]

Narysuj sobie płaszczyznę XOY. zaznacz w niej koło wielkie tej kuli oraz okrąg wyznaczony przez to drugie równanie. Te dwie figury są styczne wewnętrznie.

Teraz zapomnij na chwilę o kuli. Mamy drugie równanie, ono wyznacza nieskończony walec. Dokładamy \(\displaystyle{ z \ge 0}\) i mamy taki "półnieskończony walec", który ma jedną podstawę na płaszczyźnie XOY ( bo "odcinamy" go płaszczyzną \(\displaystyle{ z=0}\)). Na koniec dokładamy sferę opisaną pierwszym równaniem - obcinamy nią walec z drugiej strony (już nie ma nieskończonej wysokości, siega tylko do powierzchni sfery).

Rysunek wygląda mniej więcej tak:


Uploaded with

[Chromosom]

Co dalej należy wykonać, jak znaleźć parametryzację?

Popatrz od góry na tę krzywą - zobaczysz okrąg. Najpierw wyznacz równania parametryczne \(\displaystyle{ x(t),\,y(t)}\) tego okręgu.

[patricia__88]

Aha czyli to jest tak jakby ćwiartka kuli?

[Chromosom]

Nie; na rysunku rzeczywiście tak to wygląda, ale w rzeczywistości jest inaczej. Zauważ że rysunek jest przestrzenny. Dokonaj też parametryzacji o której mówiłem

[patricia__88]

Mam ciągle problem z tą parametryzacją tak tutaj jak i w innym zadaniu. Czy mogę prosić o jakąś pomoc?

[Chromosom]

- poddział definicja; znajdziesz tam równania parametryczne okręgu. Od tego trzeba zacząć, bo inaczej nie uda się rozwiązać zadania. Określ najpierw położenie środka tego okręgu oraz jego promień. Wykonaj rysunek przedstawiający bryłę w rzucie na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxy}\).

[patricia__88]

\(\displaystyle{ x= \frac{a}{2}+ \frac{a}{2}\cos \alpha \\ y= \frac{a}{2}\sin \alpha}\)
Czy to jest dobrze, co dalej?

[Chromosom]

Bardzo dobrze. Zauważ że górną część powierzchni kuli można opisać równaniem \(\displaystyle{ z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}}\), czyli \(\displaystyle{ z(t)=\sqrt{R^2-\bigl(x(t)\bigr)^2-\bigl(y(t)\bigr)^2}}\); podstaw zatem do tej zależności równania parametryczne i uprość otrzymane wyrażenie.