Całka niewłaściwa

shwari · Post autor: **shwari** » 25 sie 2011, o 10:58

Witam, mam taką oto całkę:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{x\mbox{d}x}{1-x}}\).

Obliczam całkę nieoznaczona z tego, wychodzi \(\displaystyle{ -x - \ln(x-1)}\).
Z tego co wiem, trzeba by teraz policzyć granice przy \(\displaystyle{ \varepsilon \rightarrow 0}\) z wyniku całki nieoznaczonej wstawiając za \(\displaystyle{ x}\) kolejno \(\displaystyle{ 1 - \varepsilon}\) minus (za \(\displaystyle{ x}\)) \(\displaystyle{ 0}\).

Do tego momentu chyba dobrze. Pytanie moje jest takie: Po podstawieniu powstają takie dwa dziwne twory jak \(\displaystyle{ \ln (-\varepsilon)}\) oraz \(\displaystyle{ \ln(-1)}\). Jakie są ich wartości?
Myślę, ze \(\displaystyle{ \ln(-\varepsilon)}\) bez minusa w środku miałoby wartość (- nieskończoność), a z minusem nie mam zielonego pojęcia.
Proszę o pomoc.
Pozdrawiam

Lorek · Post autor: **Lorek** » 25 sie 2011, o 11:24

Te dziwne twory to masz stąd, że w wyniku całkowania czegoś brakuje.

shwari · Post autor: **shwari** » 25 sie 2011, o 11:33

Jeśli mówisz o stałej całkowania, to chyba pomija się ją przy obliczaniu całki oznaczonej? Wynik z nieoznaczonej jest niejako pomocniczy.

xanowron · Post autor: **xanowron** » 25 sie 2011, o 11:35

Chodzi o coś innego, o logarytm konkretnie.

shwari · Post autor: **shwari** » 25 sie 2011, o 12:21

mhm, rozumiem, ze powinno byc pod logarytmem \(\displaystyle{ 1 - x}\)... Tylko z czego to wynika? Pozdrawiam

Lorek · Post autor: **Lorek** » 25 sie 2011, o 12:28

Przede wszystkim to pod logarytmem powinien być moduł. I wtedy wszystko jedno czy jest \(\displaystyle{ 1-x}\) czy \(\displaystyle{ x-1}\).