całka potrójna - kula
- kielbasa
- Użytkownik
- Posty: 174
- Rejestracja: 14 wrz 2009, o 18:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Internet
- Podziękował: 72 razy
całka potrójna - kula
Mamy taką całkę :
\(\displaystyle{ \iiint\limits_V \sqrt{x^{2} +y^{2} + z^{2}} \mbox{d}x \mbox{d}y \mbox{d}z}\)
gdzie \(\displaystyle{ V=\left\{ \left( x,y,z\right) \in R^{3} :x^{2}+y^{2}+z^{2}-y \le 0 \right\}}\)
Rozumiem że zapisujemy to tak :
\(\displaystyle{ x^{2}+\left( y- \frac{1}{2} \right)^{2}+z^{2} \le \left( \frac{1}{2}\right) ^{2}}\)
I nasza kula ma środek w \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{1}{2} ,0\right)}\) oraz promień równy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
Wprowadzamy współrzędne sferyczne :
\(\displaystyle{ x=r\, \sin\theta \, \cos\phi \\ y=r\, \sin\theta \, \sin\phi \\ z=r\, \cos\theta}\)
I teraz pytanie ... Jak wyczytać z rysunku granice całkowania dla \(\displaystyle{ r, \theta, \phi}\) ?
rysunek :
Jakieś pomysły ?
\(\displaystyle{ \iiint\limits_V \sqrt{x^{2} +y^{2} + z^{2}} \mbox{d}x \mbox{d}y \mbox{d}z}\)
gdzie \(\displaystyle{ V=\left\{ \left( x,y,z\right) \in R^{3} :x^{2}+y^{2}+z^{2}-y \le 0 \right\}}\)
Rozumiem że zapisujemy to tak :
\(\displaystyle{ x^{2}+\left( y- \frac{1}{2} \right)^{2}+z^{2} \le \left( \frac{1}{2}\right) ^{2}}\)
I nasza kula ma środek w \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{1}{2} ,0\right)}\) oraz promień równy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
Wprowadzamy współrzędne sferyczne :
\(\displaystyle{ x=r\, \sin\theta \, \cos\phi \\ y=r\, \sin\theta \, \sin\phi \\ z=r\, \cos\theta}\)
I teraz pytanie ... Jak wyczytać z rysunku granice całkowania dla \(\displaystyle{ r, \theta, \phi}\) ?
rysunek :
Jakieś pomysły ?
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
całka potrójna - kula
Najpierw granice dla \(\displaystyle{ r}\) wyznacz. Rozwiązywałeś kiedyś zadania z przesuniętym w ten sposób okręgiem? w tym przypadku procedura jest podobna.
- kielbasa
- Użytkownik
- Posty: 174
- Rejestracja: 14 wrz 2009, o 18:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Internet
- Podziękował: 72 razy
całka potrójna - kula
wyznaczałem i wiem że robi się trójkąt prostokątny i za pomocą funkcji trygonometrycznej się go opisuje ... mam racje ?
\(\displaystyle{ \cos \theta = \frac{r}{1}}\)
\(\displaystyle{ \cos \theta = \frac{r}{1}}\)
Ostatnio zmieniony 24 sie 2011, o 20:35 przez kielbasa, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
całka potrójna - kula
Bardzo podobnie, ale jednak trochę inaczej. Zauważ że w tym przypadku dla \(\displaystyle{ \theta=0}\) promień jest zerowy, popraw zatem swój wzór. I oczywiście taka sytuacja występuje tylko przy \(\displaystyle{ \phi=\frac\pi2}\), ale wpływ tej zmiennej można uwzględnić później. Jest to geometryczna metoda wyznaczenia granic całkowania; wynik można też uzyskać posługując się równaniami tej bryły.
- kielbasa
- Użytkownik
- Posty: 174
- Rejestracja: 14 wrz 2009, o 18:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Internet
- Podziękował: 72 razy
całka potrójna - kula
nie za bardzo rozumiem co masz na myśli . Fajnie byłoby jak byś mógł mi to jakoś pokazać na przykładzie albo naprowadzić ... naprawdę mam z tym problem.-- 24 sie 2011, o 22:04 --
\(\displaystyle{ \cos \theta = \frac{r}{1}}\) to promień chyba nie będzie zerowy ... nie rozumiem zbytnio o co chodzi...
Jeśli chodzi oChromosom pisze:Bardzo podobnie, ale jednak trochę inaczej. Zauważ że w tym przypadku dla \(\displaystyle{ \theta=0}\) promień jest zerowy, popraw zatem swój wzór...
\(\displaystyle{ \cos \theta = \frac{r}{1}}\) to promień chyba nie będzie zerowy ... nie rozumiem zbytnio o co chodzi...
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
całka potrójna - kula
Czy musisz rozwiązać to zadanie geometrycznie? znacznie szybciej byłoby podstawić do równania powierzchni nowe zmienne.
Zaczynasz od \(\displaystyle{ \theta=0}\) i wtedy promień jest zerowy. Potem gdy \(\displaystyle{ \theta}\) dąży do \(\displaystyle{ \frac\pi2}\) promień zwiększa się, aż osiąga wartość 1. Możesz tego nie wiedzieć, więc powiem Ci że odpowiednie równanie ma postać \(\displaystyle{ r(\theta)=\sin\theta}\). Taka sytuacja jest dla \(\displaystyle{ \phi=0}\) ponieważ promień największego okręgu jest różny dla różnego \(\displaystyle{ \phi}\). Musisz więc znaleźć bardziej ogólne równanie, w którym to uwzględnisz. Zdaję sobie sprawę że to wytłumaczenie może być niezrozumiałe, więc napisz jeśli coś sprawia Ci problem, wtedy dokładniej opiszę tę część rozwiązania.nie za bardzo rozumiem co masz na myśli . Fajnie byłoby jak byś mógł mi to jakoś pokazać na przykładzie albo naprowadzić ... naprawdę mam z tym problem.
- kielbasa
- Użytkownik
- Posty: 174
- Rejestracja: 14 wrz 2009, o 18:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Internet
- Podziękował: 72 razy
całka potrójna - kula
to jest jakaś masakra nic nie rozumiem ... nie mam pojęcia jak wyznaczyć te granice całkowania ... a zadanie nie muszę rozwiązywać geometrycznie ale rysunek miał za zadanie mi pomóc ale jakoś nie odgrywa swojej roli odpowiednio
-
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 10:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Frampol
- Podziękował: 9 razy
całka potrójna - kula
Mam pytanie jeszcze co do tego zadania podstawie wspolrzedne sferyczne do rownania i wychodzi mi
\(\displaystyle{ r-\cos \theta \le 0\\r \le \cos \theta}\)
Mam wiec granice dla r, a jak postepowac w przypadku wyznaczania granic dla \(\displaystyle{ \theta}\)?
\(\displaystyle{ r-\cos \theta \le 0\\r \le \cos \theta}\)
Mam wiec granice dla r, a jak postepowac w przypadku wyznaczania granic dla \(\displaystyle{ \theta}\)?
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 19:25 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a
Powód: punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
całka potrójna - kula
Granice dla \(\displaystyle{ r}\) nie są poprawnie określone. Skorzystaj z wiadomości które już tutaj zamieściłem. Granice kątów można szybko wyznaczyć na podstawie rysunku.
-
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 10:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Frampol
- Podziękował: 9 razy
całka potrójna - kula
Granica dla r bedzie \(\displaystyle{ r\le \sin\theta \sin\phi}\) tak? A katy \(\displaystyle{ \theta \in \left[ 0, \frac{\pi }{2} \right]}\)
\(\displaystyle{ \phi \in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]}\) ? I jest jakis inny sposob wyznaczania katow niz robienia tego z rysunku?
\(\displaystyle{ \phi \in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]}\) ? I jest jakis inny sposob wyznaczania katow niz robienia tego z rysunku?
Ostatnio zmieniony 27 sie 2011, o 14:11 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u.
-
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 10:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Frampol
- Podziękował: 9 razy
całka potrójna - kula
Ok juz widze. I jeszcze raz zapytam czy mozna katy wyznaczac w inny sposob niz z rysunku?
Ostatnio zmieniony 29 sie 2011, o 20:47 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.