Sumy szeregu

[Giks]

Mam obliczyć sumę częściową potem jeśli istnieje sume ciągu o wyrazach:
\(\displaystyle{ a _{1}=800, a _{2}=400, a _{3}=200}\)
Obliczam więc
\(\displaystyle{ q= \frac{a _{2} }{a _{1} }= \frac{400}{800}= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ S _{n} = \frac{a _{1} (1-q ^{n}) }{1-q}= \frac{800 \left( 1- \frac{1}{2 ^{n} } \right) }{ \frac{1}{2} }=400 \left( 1- \frac{1}{2 ^{n} } \right)}\)
\(\displaystyle{ S=n\lim_{ \to \infty }S _{n}= \lim_{ n\to \infty }400 \left( 1- \frac{1}{2 ^{n} } \right)}\)
I jak to dalej pociągnąć? dobrze robię do tego momentu?
Bo dalej przekształcam to tak:
\(\displaystyle{ = \lim_{ n\to \infty }400 \sqrt[2 ^{n} \right] { \left( 1- \frac{1}{2 ^{n} } \right) ^{2 ^{n} } }= \lim_{ n\to \infty } \frac{400}{ \sqrt[2 ^{n} ]{e} }}\)
Ale to chyba jakoś inaczej trzeba co?

[mateuszek89]

\(\displaystyle{ S_n}\) prawie ok, ale masz błąd w rachunkach. Zamiast \(\displaystyle{ 400}\) powinno być \(\displaystyle{ 1600}\).
To szereg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}<1}\) stąd suma tego szeregu to zwyczajnie \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}q^n=\frac{a_1}{1-q}}\).
Pozdrawiam!

[Giks]

A no tak dzięki!
Można tą sumę tak jak mi mówisz ale czyli ja tam nie potrzebnie się tak męczyłem ale tak ogólnie to to rozwiązanie sumy jest poprawnie? Tzn czysto matematycznie bo zrobić to należy z tego wzoru co podałeś (już pomijając te 400 zamiast 1600 - chodzi mi o tą granice).

[mateuszek89]

wg mnie wszystko jest ok. Jest to szereg geometryczny więc sumę tego szeregu możesz policzyć z takiego wzoru

[Giks]

Ale mi chodzi o ten fragment czy jest poprawny (wiem, że trzeba z tego wzoru co podałeś ale gdyby taki wzór nie istniał załóżmy to czy tą granicę liczę dobrze?

\(\displaystyle{ S=n\lim_{ \to \infty }S _{n}= \lim_{ n\to \infty }400(1- \frac{1}{2 ^{n} })}\)
I jak to dalej pociągnąć? dobrze robię do tego momentu?
Bo dalej przekształcam to tak:
\(\displaystyle{ = \lim_{ n\to \infty }400 \sqrt[2 ^{n} ]{(1- \frac{1}{2 ^{n} }) ^{2 ^{n} } }= \lim_{ n\to \infty } \frac{400}{ \sqrt[2 ^{n} ]{e} }}\)
Ale to chyba jakoś inaczej trzeba co?

[mateuszek89]

Najlepiej zwyczajnie przejść do nieskończoności w \(\displaystyle{ S_n}\) i mamy. \(\displaystyle{ S= \lim_{n \to +\infty}S_n=\lim_{n \to +\infty}\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}}\), bo \(\displaystyle{ |q|<1}\), a \(\displaystyle{ a_1}\) to jakaś stała.

[Giks]

A jak by było z sumą takiego szeregu gdzie \(\displaystyle{ S _{n}=- \frac{1}{900}(1-10 ^{n})}\)
\(\displaystyle{ q=10, a ^{1}= \frac{1}{100}}\)

[mateuszek89]

\(\displaystyle{ S_n}\) ok tylko zamknij nawias. A jeśli chodzi o sumę to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}}\) jest wtedy rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\).

[Giks]

Ok to były szeregi z ciągami geometrycznymi z arytmetycznymi może też bym sobie poradził bo są na ich sumę wzory ale co gdy pojawi się np taki szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(n+3)}}\)
Jak wyznaczyć wzór na sunę czegoś takiego? Gdyby tam w mianowniku było \(\displaystyle{ n(n+1)}\) to jeszcze bym sobie poradził obliczając kilka początkowych sum zauważył bym analogię ale tu nie widzę nic jest jakiś na to przepis?

[Adifek]

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}- \frac{1}{n+3} = \frac{3}{n(n+3)}}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n \left( n+3 \right) }= \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n}- \frac{1}{n+3} \right) = \frac{1}{3} \left[ \left( 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}... \right) - \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+... \right) \right] =\frac{1}{3} \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right) =\frac{11}{18}}\)

[Giks]

A czym jest to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) przed nawisem i jak liczy się ten ostatni nawias:

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right)}\)

[Adifek]

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) bierze się z pierwszej linijki mojego postu

[Giks]

No ok ale ty obliczyłeś mi od razu sumę a jak wygląda wzór na \(\displaystyle{ S _{n}}\) bo o to mi raczej chodziło?

[mmttdd]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k \left( k+3 \right) }= \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k}- \frac{1}{k+3} \right) =\\ \frac{1}{3} \left[ \left( 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n} \right) - \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3} \right) \right]=\frac{1}{3} \left(1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)=\frac{11}{18}-\frac{1}{3}\left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3} \right)}\)
przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\) zostaje samo \(\displaystyle{ \frac{11}{18}}\)

[Giks]

Nadal nie o to mi chodzi. Ja chciałem wzór na sumę częściową \(\displaystyle{ S _{n}}\) czyli wzór po podstawieniu za który otrzymamy sumę n- elementów.
Np. gdybyśmy mieli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(n+1)}}\) wzór wyglądał by tak: \(\displaystyle{ S _{n}=1- \frac{1}{n+1}}\) a jak w przypadku o który pytam?