Wyznaczyć ekstrema funkcji

[mickeee]

Witam ponownie tym razem zabrałem się za ekstrema i robię taki przykład.

\(\displaystyle{ f(x,y)= x^{3}+ y^{3}-3xy}\)

`obliczam pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i wychodzi
\(\displaystyle{ f'_{x}= 3x^{2}-3y \\
f'_{y}= 3y^{2}-3x}\)

Teraz muszę wyznaczyć punkty stacjonarne :

\(\displaystyle{ 3x^{2}-3y=0 \\
3y^{2}-3x=0 \\ \\
3y^{2}-3x=0 \\
3y^{2}=3x \\
y^{2}=x}\)

podstawiam

\(\displaystyle{ 3y^{4}-3y=0 \\
y^{4}-y=0 \\
y(y^{3}-1)=0\\
y=0,(y-1)(y^{2}+y+1)=0 \\
y=0, y=1, \Delta<0}\)

Jak teraz te punkty wyznaczyć ?? , potem obliczę pochodną cząstkową rzędu \(\displaystyle{ 2}\) , i będzie trzeba zbudować wyznacznik. Mógłby ktoś rozwiązać to do końca byłbym bardzo wdzięczny:)

`Pozdrawiam

[ares41]

Teraz odpowiedz sobie na pytanie ile wynoszą iksy dla obliczonych igreków, tak aby układ równań był spełniony, tj. :
\(\displaystyle{ y=0 \Rightarrow x=....... \\ y=1 \Rightarrow x=.......}\)

[mickeee]

okej czyli wyszło mi, że

\(\displaystyle{ x=0 , x=1}\)

czyli będzie \(\displaystyle{ A(0,0) , B(1,1)}\)

teraz obliczam pochodne cząstkowe 2 rzędu

\(\displaystyle{ f''_{xx}=6x\\
f''_{yy}=6y\\
f''_{xy}=-3\\
f''_{yx}=-3}\)

i buduję wyznacznik;

\(\displaystyle{ W(1,1) = 27\\
W(0,0) = 9}\)

i właśnie jak określić minimum, maksimum etc ,
`dzięki

[ares41]

Zbadaj znak drugiej pochodnej \(\displaystyle{ f''_{xx}}\) w tych punktach.

[mickeee]

\(\displaystyle{ B(1,1) \ f''_{xx} > 0}\) , czyli osiąga maksimum ??

[ares41]

Raczej minimum.

[mickeee]

racja racja, i teraz co do czego podstawić : ) ??

[ares41]

Rozumiem, że chodzi Ci o wyznaczenie wartości tego ekstremum. Współrzędne punktu, w którym jest to ekstremum (czyli pkt. \(\displaystyle{ B}\) ) wstawiasz do wzoru funkcji.

[mickeee]

Ok mam, dzięki ares41 za pomoc, pozdrawiam serdecznie.