Uogólnienie zbiorow

[zidan3]

Proszę o sprawdzenie poniższych zadań (przykłady jak i brak odpowiedzi pochodzą z ksiązki Heleny Rasiowej) i ewentualne wskazówki w razie błędów.
a)
\(\displaystyle{ A_{n}= \left\{ x \in \mathbb{R}:-\frac{1}{n}\leq x< \frac{1}{n}\right\}}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A _{n} =\left \langle -1,1 \right )}\)
\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n}=\left \{ 0 \right \}}\)

b)
\(\displaystyle{ A_{n}=\left \{ x\in \mathbb{R}:\frac{1}{n+1}\leq x\leq \frac{1}{n} \right \}}\)

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}=\left \langle \frac{1}{2},1 \right \rangle}\)
\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n}=\left \{ 0 \right \}}\)

d)
\(\displaystyle{ A_n=\left \{ x\in \mathbb{R}:\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n\leq x\leq 3 \right \}}\)

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\left \langle 2,3 \right \rangle}\)
\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\left \langle 2,e \right \rangle}\)

e)
\(\displaystyle{ A_n=\left \{ x\in \mathbb{R}:n\leq x\leq n+1 \right \}}\)

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\left \langle 1,\infty\right )}\)
\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset}\)

[mateuszek89]

1. ok
2. suma jest źle, rozpisz sobie kilka wyrazów, część wspólna- np. w zbiorze \(\displaystyle{ A_1}\) nie ma \(\displaystyle{ \{0 \}}\)
3. suma ok, część wspólna zobacz sobie zbiór \(\displaystyle{ A_2}\) i już się nie zgadza. Ciąg \(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{n})^n}\) jest rosnący i zbieżny do \(\displaystyle{ e}\).
4. jest ok.
Pozdrawiam!

[zidan3]

Z liczba \(\displaystyle{ e}\) przepisalem zle, na poczatku mialem tak:
\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\left[ e,3\right]}\)

W 2 suma tak?:
\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\left[ \frac{1}{2},0 \right) \wedge \left( 0,1\right]}\)

[mateuszek89]

w podpunkcie d część wspólna powinna być chyba taka \(\displaystyle{ (e,3]}\) tak mi się wydaję. w 2 suma \(\displaystyle{ (0,1]}\) ok:)

[zidan3]

hahah co ja za głupoty pisze.
Zapomniałem że tam minusa nie ma wiec:
\(\displaystyle{ \left(0, \frac{1}{2}\right] \subseteq \left( 0,1\right)}\)
Tak w e otwarty przedzial oczywiscie.
Dzieki bardzo za pomoc, reszte zadań powinienem teraz spokojnie zrobić.

[mateuszek89]

Przepraszam! Kurczę. Cały czas miałem to w głowie, ale niechcący źle wcisnąłem. Oczywiście w części wspólnej będzie \(\displaystyle{ e}\)! Ciąg \(\displaystyle{ (1+\frac{1}{n})^n}\) jest rosnący więc w każdym \(\displaystyle{ A_n}\) będzie liczba \(\displaystyle{ e}\). Stąd też w części wspólnej także będzie.

[zidan3]

Przepraszam! Kurczę. Cały czas miałem to w głowie, ale niechcący źle wcisnąłem. Oczywiście w części wspólnej będzie \(\displaystyle{ e}\)! Ciąg \(\displaystyle{ (1+\frac{1}{n})^n}\) jest rosnący więc w każdym \(\displaystyle{ A_n}\) będzie liczba \(\displaystyle{ e}\). Stąd też w części wspólnej także będzie.

W sumie to juz jest najmniej istotne, po prostu bede bardziej czujny nastepnym razem.
Chodziło mi głownie o to czy dobrze zrozumiałem idee uogólnien zbiorów. (Poki co ucze sie sam, wiec ciezko bylo to zweryfikować, bez odpowiedzi do zadan)