całka z e do potęgi

johanneskate · Post autor: **johanneskate** » 24 sie 2011, o 18:47

\(\displaystyle{ \int_{}^{} e ^{r^2} dr}\)

Współrzędne sferyczne próbowałem, ale coś nie gra. Jakieś pomysły jak to ruszyć?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 sie 2011, o 18:52

johanneskate pisze:\(\displaystyle{ \int_{}^{} e ^{r^2} dr}\)

Współrzędne sferyczne próbowałem, ale coś nie gra. Jakieś pomysły jak to ruszyć?

A gdzie granice całkowania?

johanneskate · Post autor: **johanneskate** » 24 sie 2011, o 18:56

miodzio1988 pisze: A gdzie granice całkowania?

Tzn są potrzebne w zadaniu?, czy przedstawić jak liczyłem?

EDIT:

Małe sprostowanie, nie zauważyłem czegoś. Poprawne zadanie:

\(\displaystyle{ \iint\limits_Ge^{x^2+y^2}\,\text dx\,\text dy}\)
obszar:
\(\displaystyle{ G\colon x^2+y^2 \le 1}\)

Więc to będzie tak:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} e^{r^2} r \,\text d \alpha \,\text dr}\)

I co dalej?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 sie 2011, o 19:17

Tzn są potrzebne w zadaniu?, czy przedstawić jak liczyłem?

Bez granic nie policzysz tej całki

johanneskate · Post autor: **johanneskate** » 24 sie 2011, o 19:25

miodzio1988, już edytowałem posta, dodałem na dole wyjaśnienie. Błąd mi się wkradł. Tak jest ok?

kielbasa · Post autor: **kielbasa** » 24 sie 2011, o 19:46

Wprowadzasz współrzędne biegunowe i wyznaczasz granice całkowania i liczysz całkę...

\(\displaystyle{ x=r \cos \phi \\
y=r \sin \phi}\)

no i masz proste równanie okręgu którego promień jest równy \(\displaystyle{ 1}\)

granice :

\(\displaystyle{ 0 \le r \le 1 \\
0 \le \phi \le 2 \pi}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 sie 2011, o 19:50

Od kiedy to wprowadzamy współrzędne sferyczne do koła?

kielbasa · Post autor: **kielbasa** » 24 sie 2011, o 19:51

Przepraszam ... biegunowe

czytając post johanneskate zaplątałem się

miodzio1988 pomógłbyś z moim zadaniem a nie

Nikt nie chce ruszyć tematu .... całka potrójna - kula (0 odpowiedzi)

johanneskate · Post autor: **johanneskate** » 24 sie 2011, o 20:03

kielbasa, no czyli tak jak zrobiłem w moim drugim poście. I jak to rozwiązać?

kielbasa · Post autor: **kielbasa** » 24 sie 2011, o 20:10

całkę rozwiązujesz przez podstawienie ....

\(\displaystyle{ t=r^{2}\\
dt=2rdr\\
\frac{dt}{2} =rdr}\)

dalej to chyba już prosto ...

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\left[ \int_{0}^{2 \pi}\left( r e ^{r^2}\right) d \phi \right]dr=2 \pi \int_{0}^{1}\left( r e ^{r^2}\right)dr=\pi \int_{0}^{1} e^{t}dt=}\)

I tu już mamy elementarną ...

\(\displaystyle{ = \left( \pi e^{t}\right)_{0}^{1}=\pi e - \pi=\pi\left( e-1\right)}\)

mogłem gdzieś błąd zrobić... proszę więc o sprawdzenie.