całka z trójkąta

Post autor: **Chromosom** » 19 sie 2011, o 23:08

Nie wiem w jaki sposób patrzysz na ten trójkąt. Wykonaj schemat przedstawiający tę sytuację i zamieść go na forum, wtedy będę mógł Ci powiedzieć co musisz w swojej metodzie poprawić. W przeciwnym wypadku rozwiązanie zadania nie będzie możliwe.

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 23 sie 2011, o 21:46

Post autor: **Chromosom** » 23 sie 2011, o 21:48

Dobrze. Górna strona to jest ta którą widzisz na rysunku. Możesz zatem przejść do dalszej części rozwiązania.

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 24 sie 2011, o 09:01

ok już wiem skąd się wzięły te stałe, jednak w kolejnym etapie nie rozumiem skąd to się bierze:
\(\displaystyle{ 0 \leqslant x \leqslant 1 \ \Phi_{x}=(1,-1,0)\\
0 \leqslant z \leqslant 2-2x \ \Phi_{z}=(0,- \frac{1}{2}, 1)}\)

Post autor: **Chromosom** » 24 sie 2011, o 14:19

jest to obszar całkowania, czyli rzut powierzchni na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxz}\)

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 24 sie 2011, o 14:31

Dobrze, ale jak się wyznacza ten obszar całkowania?

Post autor: **Chromosom** » 24 sie 2011, o 20:04

obszar jest rzutem tej powierzchni na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxz}\); stwierdzenie jak ten rzut wygląda w tym przypadku nie powinno być trudne

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 24 sie 2011, o 20:18

No jednak nie wiem jak to będzie wyglądać i skąd weźmie się taki zakres \(\displaystyle{ z}\)

Post autor: **Chromosom** » 24 sie 2011, o 20:23

Popatrz jeszcze raz na swój rysunek od góry. Narysuj dwuwymiarowy kartezjański układ współrzędnych (ze współrzędną \(\displaystyle{ x}\) na osi poziomej oraz \(\displaystyle{ z}\) na pionowej) i zaznacz na nim punkty uwzględniając jedynie współrzędne \(\displaystyle{ x,z}\). Czyli punkt \(\displaystyle{ A=(1,0,0)}\) będzie na Twoim rysunku miał współrzędne \(\displaystyle{ A_1=(1,0)}\). Podobnie postępuj w przypadku pozostałych punktów.

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 24 sie 2011, o 20:39

Zatem powinno to wyglądać tak:

Jednak wówczas zakres powinien być taki: \(\displaystyle{ 0 \leqslant z \leqslant 2\\ 0 \leqslant x \leqslant 1}\)

Post autor: **Chromosom** » 24 sie 2011, o 20:42

Rysunek bardzo dobrze, ale granice nie. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ (0,2)}\) oraz \(\displaystyle{ (1,0)}\) - będzie to górna granica całkowania.

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 24 sie 2011, o 20:50

ok wyszło mi \(\displaystyle{ y=2-2x}\) ale skąd wiadomo, że ta górna granica całkowania ma być przy \(\displaystyle{ z}\), anie przy \(\displaystyle{ x}\)

Post autor: **Chromosom** » 24 sie 2011, o 20:51

jest to obojętne, zależy jedynie od tego po której zmiennej najpierw całkujesz

patricia__88 pisze:ok wyszło mi \(\displaystyle{ y=2-2x}\)

powinno być \(\displaystyle{ z=2-2x}\)

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 24 sie 2011, o 20:53

aha no to jeszcze mam ostatnie pytanie: Jak oblicza się \(\displaystyle{ \Phi_{x}}\) i \(\displaystyle{ \Phi_{z}}\)

Post autor: **Chromosom** » 25 sie 2011, o 08:32

Gdy ja mam do czynienia z płatem powierzchni danym równaniem jawnym, przy dokonywaniu obliczeń związanych z orientacją wyznaczam współrzędne wektora normalnego bezpośrednio z tego równania. Tutaj w tym celu posłużono się równaniami parametrycznymi tego płata w celu wyznaczenia współrzędnych wektora normalnego - co uważam za niepotrzebną komplikację - niemniej jednak ta metoda również jest poprawna i wytłumaczę Ci ją jeśli musisz z niej skorzystać. W tym zadaniu potraktowano \(\displaystyle{ x,z}\) jako parametry, zatem współrzędne wektorów \(\displaystyle{ \Phi_x,\Phi_z}\) obliczysz różniczkując równanie parametryczne po parametrach.