Jakobian przeksztalcenia

[blost]

Witam
mam nastepujace przeksztalcenie

\(\displaystyle{ x_1=x+1}\)
\(\displaystyle{ y_1=-y}\)
badam sobie teraz Jakobian przejscia

\(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&-1\end{array}\right]=-1}\)
wychodzi -1 a badajac w sposob podstawowy tzn liczac odleglosci punktow wychodzi ze jest to izometria... gdzie robie blad ? czy moze jezeli jakobian wychodzi -1 to rowniez jest to izometria ?

[tymczasowynick]

nie znam sie
myślę że ze dwie jedynki powinieneś mieć
bo skoro z -y robisz -1
to dlaczego z x nie robisz 1

sorka jesli sie myle bom spiacy

potem jak nie wychodzi może mylisz wiersze z kolumnami

[blost]

poniewaz...\(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{ccc} \frac{ \partial(x+1) }{ \partial x} & \frac{ \partial(x+1) }{ \partial y} \\ \frac{ \partial(-y) }{ \partial x} & \frac{ \partial(-y) }{ \partial y} \end{array}\right]=
\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&-1\end{array}\right]=-1}\)

chyba nie myle wierszy... przynajmniej tak mi sie wydaje

co prawda jakbym dal
\(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{ \partial(-y) }{ \partial x} & \frac{ \partial(-y) }{ \partial y} \\
\frac{ \partial(x+1) }{ \partial x} & \frac{ \partial(x+1) }{ \partial y} \end{array}\right]=
\left[\begin{array}{ccc}0&-1\\1&0\end{array}\right]=1}\)
to by sie zgadzalo... ale nie jestem pewny tego czy to ma tak wygladac... dlaczego niby pierwszy sposob bylby zly ?

[BettyBoo]

Twój oryginalny jakobian jest poprawny. Moduł jakobiana ma być równy 1, więc sam jakobian \(\displaystyle{ \pm 1}\).

Pozdrawiam.

[blost]

Wielkie dzieki. Nie moglem wlasnie nigdzie znalesc tego czy chodzi o sam wyznacznik czy o modul z niego. Moglabys mi moze jeszcze przy okazji polecic jakas ksiazeczke w ktorej znalazlbym cos o jakobianach ?

[BettyBoo]

Nie bardzo mogę Ci polecić, bo o tym, żeby stosować jakobian do sprawdzania izometrii dowiedziałam się od Ciebie Natomiast fakt, że chodzi o moduł wynika z własności iloczynu skalarnego.

Pozdrawiam.

[blost]

z wlasnosci iloczynu skalarnego ? bardzo bylbym wdzieczny za lekkie podprowadzenie bo nie wiem w jaki sposob to wywnioskowac:)

[BettyBoo]

Na pierwszy rzut oka wygląda na to, że ma to coś wspólnego z macierzą zmiany bazy, bo izometrie chyba muszą być przekształceniami liniowymi, ale tak naprawdę to nie próbowałam zrobić dowodu (może się nad tym zastanowię;) ) Zważywszy jednak na to, że odległość to jest pierwiastek z iloczynu skalarnego wektora przez siebie, więc - przyjmując standardowy iloczyn skalarny w przestrzeni \(\displaystyle{ R^n}\) - otrzymuje się we wzorze na odległość kwadraty współrzędnych. Zatem jeśli jakobian równy 1 ma cokolwiek wspólnego ze stwierdzeniem, czy dane przekształcenie jest izometrią, to jakobian równy -1 również musi mieć

Pozdrawiam.

[6hokage]

No właśnie chyba nie, bo moduł Jakobianu można traktować jako współczynnik zmiany pola obszaru całkowania po przekształceniu (czyli krótko mówiąc izometria). Jak np |J|=2 to pole się zwiększa dwukrotnie. Pole nie może się zmnienić ujemnie, więc dlatego musi być moduł. Jeszcze się tego nie uczyłem, przepisałem to z książki, więc proszę nie zadawać mi kłopotliwych pytań. Tytuł: Matematyka część II, Analiza matematyczna. Autor: W. Żakowski, W. Kołodziej. Nie wiem czy Ci go polecić bo w sumie to za wiele w nim nie ma o Jakobianie. Musiałbyś go przejrzeć i samemu ocenić czy warto kupić.

[BettyBoo]

6hokage, fakt, ale ze mnie łosiek Chciałam przez Londyn do Krakowa

Załóżmy, że robimy przekształcenie płaszczyzny \(\displaystyle{ (x,y) \to (f(x,y),g(x,y))}\), przy czym obie funkcje f,g są ciągłe wraz z pierwszymi pochodnymi, a jakobian jest niezerowy w każdym punkcie (w przeciwnym razie odwzorowanie nie jest różnowartościowe, więc to w szczególności nie jest izometria).

(WKW) Odzworowanie jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ |J|\equiv 1}\)
(poniższy dowód jest zrobiony na podstawie tego, co jest napisane w cytowanej książce)

Weźmy dowolny punkt P' z obrazu i weźmy dowolny obszar ograniczony D' zawierający P'. Ponieważ D' jest obrazem pewnego obszaru D, to ze wzoru na pole i z tw o zamianie zmiennych w całce mamy

\(\displaystyle{ |D|=\iint_Ddxdy=\iint_{D'}|J(x',y')|dx'dy'}\)

Z tw o wartości średniej dla całki mamy, że istnieje pewien punkt \(\displaystyle{ (x'_0,y'_0)\in D'}\) taki, że

\(\displaystyle{ |D|=\iint_{D'}|J(x',y')|dx'dy'=|D'||J(x_0', y_0')|}\)

Ponieważ jakobian jest funkcją ciągłą w każdym punkcie obrazu (bo powstaje jako iloczyn i suma funkcji ciągłych), więc jeśli \(\displaystyle{ (x_0',y_0')\to P}\) to wtedy \(\displaystyle{ J(x_0',y_0')\to J(P)}\)

czyli

\(\displaystyle{ |J(P)|=\lim_{(x_0',y_0')\to P}\frac{|D|}{|D'|}}\)

Jeśli więc odwzorowanie jest izometrią, to oczywiście stosunek pól dla każdego punktu jest równy 1, zatem \(\displaystyle{ |J|\equiv 1}\).

Odwrotnie, jeśli \(\displaystyle{ |J|\equiv 1}\), to znaczy, że stosunek pola dowolnego obszaru do pola jego obrazu przez to przekształcenie dąży do 1, czyli odwzorowanie musi być izometrią (bo gdyby nie zachowało odległości jakichś dwóch punktów, to z ciągłości odwzorowania nie zachowałoby też odległości w pewnym obszarze zawierającym oba punkty, a wówczas pole obszaru i pole jego obrazu byłyby różne, a więc istniałby punkt, w którym jakobian nie jest równy 1)

Mam nadzieję, że nie oszukałam zbytnio



Dowód przechodzi dla dowolnego wymiaru, ponieważ korzysta się z własności definiowalnych ogólnie i z ich ogólnych własności.

Pozdrawiam.

[blost]

Wielkie dzieki ...na pewno przyda sie tez twój podpis

"First rule - don't panic "

[6hokage]

Hm. A jak się nazywa takie przekształcenie, które nie zmienia kształtu, ale zmienia rozmiar. (do tej pory myślałem, że to jest właśnie izometria)

[BettyBoo]

Hm. A jak się nazywa takie przekształcenie, które nie zmienia kształtu, ale zmienia rozmiar. (do tej pory myślałem, że to jest właśnie izometria)

O ile dobrze rozumiem pojęcie "nie zmienia kształtu", to chodzi Ci o jednokładność (inaczej homotetię) o skali różnej od \(\displaystyle{ \pm 1}\)

Pozdrawiam.

[6hokage]

O właśnie, dzięki, kompletnie to słowo wyleciało mi z głowy.