Proszę o pomoc, ponieważ siedzę nad tym i żaden pomysł mi nie przychodzi do głowy.
Więc krótko.
Co jest większe:
\(\displaystyle{ 2^{18} + 3^{20}}\) czy \(\displaystyle{ 6^{10}}\)
Z góry dziękuje za pomoc.
Co wieksze
Co wieksze
Dzięki za podsuniecie pomysłu. -- 24 sie 2011, o 00:48 --Nie będę zakładał nowego tematu bo problem jest podobny.
\(\displaystyle{ \frac{ 2^{23}+1 }{2^{25}+1 }}\) Czy \(\displaystyle{ \frac{ 2^{25}+1 }{2^{27}+1 }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ 2^{23}+1 }{2^{25}+1 }}\) Czy \(\displaystyle{ \frac{ 2^{25}+1 }{2^{27}+1 }}\)
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Co wieksze
\(\displaystyle{ \frac{ 2^{23}+1 }{2^{25}+1 }> \frac{ 2^{25}+1 }{2^{27}+1 } \\ \\
(2^{23}+1)(2^{27}+1)>(2^{25}+1)(2^{25}+1) \\ \\
2^{50}+2^{27}+2^{23}+1>2^{50}+2^{26}+1 \\ \\
2^{27}+2^{23}>2^{26} \\ \\
2^{23}(2^{4}+1)>2^{26} \\ \\
2^{4}+1>2^{3}}\)
(2^{23}+1)(2^{27}+1)>(2^{25}+1)(2^{25}+1) \\ \\
2^{50}+2^{27}+2^{23}+1>2^{50}+2^{26}+1 \\ \\
2^{27}+2^{23}>2^{26} \\ \\
2^{23}(2^{4}+1)>2^{26} \\ \\
2^{4}+1>2^{3}}\)
-
Lbubsazob
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
Co wieksze
\(\displaystyle{ \frac{ 2^{23}+1 }{2^{25}+1 }= \frac{2^{23}+1}{2^{23} \cdot 2^2+1} \\ \frac{ 2^{25}+1 }{2^{27}+1 } = \frac{2^{23} \cdot 2^2+1}{2^{23} \cdot 2^4+1}}\)
No to podstawiam sobie \(\displaystyle{ t=2^{23}}\)
\(\displaystyle{ \frac{t+1}{4t+1}\stackrel{?}> \frac{4t+1}{16t+1} \\
\frac{t+1+3t-3t}{4t+1} \stackrel{?}> \frac{4t+1+12t-12t}{16t+1} \\
1- \frac{3t}{4t+1} \stackrel{?}> 1- \frac{12t}{16t+1}}\)
Wystarczy porównać ułamki \(\displaystyle{ \frac{3t}{4t+1}}\) i \(\displaystyle{ \frac{12t}{16t+1}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{3t}{4t+1}= \frac{12t}{16t+4}}\), to \(\displaystyle{ \frac{12t}{16t+4}< \frac{12t}{16t+1}}\).
EDYCJA: Powyższy sposób jednak szybszy.
No to podstawiam sobie \(\displaystyle{ t=2^{23}}\)
\(\displaystyle{ \frac{t+1}{4t+1}\stackrel{?}> \frac{4t+1}{16t+1} \\
\frac{t+1+3t-3t}{4t+1} \stackrel{?}> \frac{4t+1+12t-12t}{16t+1} \\
1- \frac{3t}{4t+1} \stackrel{?}> 1- \frac{12t}{16t+1}}\)
Wystarczy porównać ułamki \(\displaystyle{ \frac{3t}{4t+1}}\) i \(\displaystyle{ \frac{12t}{16t+1}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{3t}{4t+1}= \frac{12t}{16t+4}}\), to \(\displaystyle{ \frac{12t}{16t+4}< \frac{12t}{16t+1}}\).
EDYCJA: Powyższy sposób jednak szybszy.