całka potrójna - sprawdzenie

[Spheros]

Witam, prosiłbym o sprawdzenie toku rozumowania

Mamy całunię


\(\displaystyle{ \iiint_{V}zdxdydz}\), gdzie \(\displaystyle{ V= {(x,y,z): x^2+y^2+(z-1)^2=1}}\)

Jak widać jest to sfera przesunięta wzdłuż osi z o 1.

Współrzędne sferyczne:
\(\displaystyle{ x=rcos(\theta)cos(\phi)}\)
\(\displaystyle{ y=rcos(\theta)sin(\phi)}\)
\(\displaystyle{ z=rsin(\theta)}\)
\(\displaystyle{ J=r^2cos(\theta)}\)

Teraz \(\displaystyle{ \phi}\) zmienia się:
\(\displaystyle{ 0 \le \phi \le 2\pi}\)
Wydaje mi się, ze \(\displaystyle{ \theta}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \theta \le \pi}\)
Żeby uzyskać zmienność R, podstawiam współrzędne sferyczne do wzoru na V i uzyskuję:
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2sin(\theta)}\)

I jedziemy z całunią:

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{\pi}d\theta\int\limits_{0}^{2sin\theta}r^3cos(\theta)sin(\theta)dr=...}\)

może ktoś wskazać mi ewentualny błąd w tym rozumowaniu?

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}}\)

bo sfera leży tylko "powyżej" płaszczyzny XOY.

Reszta wygląda ok.

Tak się tylko zastanawiam, czy nie łatwiej byłoby Ci zrobić współrzędne sferyczne z przesunięciem?

\(\displaystyle{ x=rcos(\theta)cos(\phi) \\
y=rcos(\theta)sin(\phi) \\
z=1+rsin(\theta) \\
J=r^2cos(\theta) \\}\)

Wtedy w parametryzacji otrzymujesz prostopadłościan (taki, jak dla klasycznej kuli), bo tutaj nowe zmienne znaczą odpowiednie odległości oraz kąty, ale nie liczone od (0,0,0), tylko od (0,0,1), czyli środka sfery.

Pozdrawiam.

[Spheros]

Hmm, i wtedy, gdy zastosuję Twoją parametryzacje, to: \(\displaystyle{ -\pi/2 \le \theta \le \pi/2}\) ?

Przyznaje się bez bicia, nie ogarniam przejścia przy tych współrzędnych.

Jeśli zrzutuje tą kulę na XOY, to: \(\displaystyle{ 0\le \theta \le 2\pi}\)

A jeśliby ta kula była przesunięta do pierwszej ćwiartki tj. określona równaniem \(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=1}\), to \(\displaystyle{ 0\le \phi \le \pi/2}\) ? Dobrze myślę?

Teraz, czy mogłabyś mi wytłumaczyć jaki kąt zakreśla \(\displaystyle{ \theta}\) (tzn. w której płaszczyźnie) i jak określić jego zakres?

[BettyBoo]

Hmm, i wtedy, gdy zastosuję Twoją parametryzacje, to: \(\displaystyle{ -\pi/2 \le \theta \le \pi/2}\) ?

Przyznaje się bez bicia, nie ogarniam przejścia przy tych współrzędnych.

Jeśli zrzutuje tą kulę na XOY, to: \(\displaystyle{ 0\le \theta \le 2\pi}\)

Trochę się już zgubiłam, o którą parametryzację mnie teraz pytasz
Jeśli chodzi o to, jak działa przesunięcie - to działa tak, że najpierw dokonujesz przesunięcia całego układu współrzędnych o wektor (a,b,c) (u Ciebie o (0,0,1)). Potem, w tym przesuniętym układzie, dokonujesz zamiany na współrzędne sferyczne (więc interpretacja promienia i kątów jest taka, jak w standardowym podstawieniu sferycznym, tylko wszystko jest rozpatrywane nie względem (0,0,0), tylko względem początku przesuniętego układu, a więc (a,b,c)). Jeśli rozumiesz, jak działa przesunięcie na współrzędnych biegunowych, to tutaj działa analogicznie, tylko masz o jeden wymiar więcej.

A jeśliby ta kula była przesunięta do pierwszej ćwiartki tj. określona równaniem \(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=1}\), to \(\displaystyle{ 0\le \phi \le \pi/2}\) ? Dobrze myślę?

To równanie nie przedstawia sfery, tylko okrąg. Jak je uzupełnisz o czynnik zawierający z, to Ci odpowiem (bo od tego to zależy również).

Teraz, czy mogłabyś mi wytłumaczyć jaki kąt zakreśla \(\displaystyle{ \theta}\) (tzn. w której płaszczyźnie) i jak określić jego zakres?

A dokładnie o co pytasz?

Pozdrawiam.

[Spheros]

Hmm, sferę w przestrzeni zakreśla \(\displaystyle{ \theta}\) i \(\displaystyle{ \phi}\), przy parametryzacji zawsze musimy określić przedział tych kątów, aby zapisać granice całkowania. Nie rozumiem jak ten zakres określić i na jakiej zasadzie się to dzieje.

[BettyBoo]

Ok, to napiszę po kolei:

W oryginalnych współrzędnych sferycznych mamy

\(\displaystyle{ x=rcos(\theta)cos(\phi) \\
y=rcos(\theta)sin(\phi) \\
z=rsin(\theta)}\)

Jeśli O=(0,0,0), P=(x,y,z) (dowolny punkt), a P'=(x,y,0) (rzut tego punktu na płaszczyznę z=0), to wówczas
r oznacza długość wektora \(\displaystyle{ \vec{OP}}\)
\(\displaystyle{ \phi}\) jest kątem skierowanym między dodatnią półosią OX i wektorem \(\displaystyle{ \vec{OP'}}\)
\(\displaystyle{ \theta}\) jest kątem skierowanym między płaszczyzną XOY (czyli płaszczyzną o równaniu z=0) a wektorem \(\displaystyle{ \vec{OP}}\)


Teraz, dla łatwiejszej parametryzacji sfery, której środek znajduje się w dowolnym punkcie (a,b,c) wykorzystujemy współrzędne sferyczne przesunięte:

\(\displaystyle{ x=a+rcos(\theta)cos(\phi) \\
y=b+rcos(\theta)sin(\phi) \\
z=c+rsin(\theta)}\)

Jeśli S=(a,b,c), P=(x,y,z) (dowolny punkt), a P''=(x,y,c) (rzut tego punktu na płaszczyznę z=c), to wówczas
r oznacza długość wektora \(\displaystyle{ \vec{SP}}\)
\(\displaystyle{ \phi}\) jest kątem skierowanym między dodatnią półosią równoległą do OX o początku w S oraz wektorem \(\displaystyle{ \vec{SP''}}\)
\(\displaystyle{ \theta}\) jest kątem skierowanym między płaszczyzną równoległą do XOY i zawierającą S (czyli płaszczyzną o równaniu z=c) a wektorem \(\displaystyle{ \vec{SP}}\)

Kula o promieniu R i środku w punkcie (a,b,c) we współrzędnych przesuniętych ma wobec tego parametryzację,

\(\displaystyle{ 0\le r\le R\\ 0\le \phi \le 2\pi\\ -\frac{\pi}{2}\le \theta\le \frac{\pi}{2}}\)

czyli dokładnie taką samą, jaką ma kula o promieniu R i środku w punkcie (0,0,0) w standardowych współrzędnych sferycznych.


Alem siem napisał, uff

Jeśli coś jest jeszcze niejasne, to daj znać.


I jeszcze jedno, żeby było jasne. W przypadku zastosowania do całek, to nawet jeśli sfera jest przesunięta, to nie zawsze opłaca się robić podstawienie sferyczne z przesunięciem, to zależy od funkcji podcałkowej. Jeśli funkcją podcałkową jest np \(\displaystyle{ \sqrt{4-x^2-y^2-z^2}\), a całkę masz liczyć powiedzmy po kuli o środku w (1,1,0), to nie opłaca Ci się robić podstawienia z przesunięciem, bo Ci całka dzika wyjdzie. Lepiej wtedy zastosować standardowe współrzędne sferyczne, dzięki którym uprości się funkcja podcałkowa.


Pozdrawiam.