Ekstremum funkcji dwóch zmiennych

[gilus0022]

Mam taki przykład:

\(\displaystyle{ f\left(x,y\right) = 2 x^{2} + 2 y^{2} - \ln \left(y-x\right) \\}\)

\(\displaystyle{ y - x > 0\\ y > x}\)
Narazie chciałbym sprawdzić pochodne cząstkowe:

\(\displaystyle{ \frac{\text df}{\text{d}x}=4x-\ln \frac{1}{y-x} \\ \\ \frac{\text df}{\text{d}y}=4y+\ln \frac{1}{y-x}}\)

[miodzio1988]

Pochodne cząstkowe są źle policzone. Przykro mi

[gilus0022]

Dokładnie to liczyłem tak:
\(\displaystyle{ \frac{\text df}{\text{d}x}=2\cdot2 x^{1} +0- \left[\ln \left(y-x\right)\right]'=4x-\ln \frac{1}{y-x}\cdot\left(y-x\right)'= 4x-\ln \frac{1}{y-x}\\ \frac{\text df}{\text{d}y}=2\cdot2 y^{1} +0- \left[\ln \left(y-x\right)\right]'=4y-\ln \frac{1}{y-x}\cdot\left(y-x\right)'= 4y+\ln \frac{1}{y-x}}\)

Paprawiłem, teraz dobrze?

[miodzio1988]

źle pochodna logarytmu. Źle pochodna funkcji złożonej

[gilus0022]

Jak to :

\(\displaystyle{ \frac{\text df}{\text{d}x}=4x-\ln \frac{1}{y-x} \\ \frac{\text df}{\text{d}y}=4y+\ln \frac{1}{y-x}}\)

byłoby dobrze, to przyrównuje i mam:

\(\displaystyle{ \begin{cases}4x-\ln \frac{1}{y-x}=0 \ /\cdot\left(y-x\right) \\ 4y+\ln \frac{1}{y-x}=0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 4x\left(y-x\right)-\ln 1=0 \\ 4xy-4x^{2}=0 \\ 4y-4x=0 \\ y=x}\)

[miodzio1988]

Pochodne cząstkowe dalej źle policzone. Naucz się najpierw pochodne liczyć

[gilus0022]

Niby umiem, ale logarytm albo jakiś arcus zawsze jest troche trudniej.
W funkcji złożonej mnoży się pochodną funkcji zewnętrznej przez pochodną funkcji wewnętrznej.
\(\displaystyle{ ( \ln x )'= \frac{1}{x} \\ \\
(\ln(y-x))'= \frac{1}{(y-x)}}\)

Więc pochodną funkcji zewnętrznej już mam (tu nie ma znaczenia czy pochodna jest po x czy y?).

Teraz funkcja wewnętrzna (po iksie):
\(\displaystyle{ (y-x)'=0-1=-1}\)


Jak możesz to podaj dokładny błąd w moim rozumowaniu

[miodzio1988]

Teraz jest ok. WIęc nie wiem dlaczego wcześniej bzdury pisałes

[gilus0022]

Ale ja wiem. Tobie chodziło o znak chyba.

Najpierw napisałem:

\(\displaystyle{ \frac{\text df}{\text dx}=4x-\ln \frac{1}{y-x} \\ \frac{\text df}{\text dy}=4y+\ln \frac{1}{y-x}}\)

A teraz wychodzi:

\(\displaystyle{ \frac{\text df}{\text dx}=4x+\ln \frac{1}{y-x} \\ \frac{\text df}{\text dy}=4y-\ln \frac{1}{y-x}}\)

Nie powinieneś odsyłać delikwenta do nauki liczenia pochodnych, albo pisać, że jest źle, jeśli błędem jest tylko znak. Taki błąd wynika raczej z przeoczenia

[miodzio1988]

Jakim cudem te logarytmy Ci zostają? Wytłumacz mi

[gilus0022]

Tyle, że nawet po tej zmianie znaku teraz wychodzi mi coś sprzecznego z początkowymi założeniami:

\(\displaystyle{ \begin{cases}4x+\ln \frac{1}{y-x}=0 \ /\cdot(y-x) \\ 4y-\ln \frac{1}{y-x}=0\end{cases}\\ \\ 4x(y-x)+\ln1=0 \\ 4xy-4x^{2}=0 \\ 4y-4x=0 \\ y=x}\)

Bo na początku zakładałem, że y>x

[miodzio1988]

Tyle, że nawet po tej zmianie znaku teraz wychodzi mi coś sprzecznego z początkowymi założeniami:

\(\displaystyle{ \begin{cases}4x+ln \frac{1}{y-x}=0 \ /\cdot(y-x) \\ 4y-ln \frac{1}{y-x}=0\end{cases} \\ \\

4x(y-x)+ln1=0 \\ 4xy-4x^{2}=0 \\ 4y-4x=0 \\ y=x}\)

Bo na początku zakładałem, że y>x

Czytasz moje posty w ogóle?

[gilus0022]

Czytam. Tylko nie sprawdziłem i dodałem swój. Sorry. Rzeczywiście. Chyba już zmęczenie materiału. Skończe to zadanie i koniec.

\(\displaystyle{ \begin{cases}4x+\frac{1}{y-x}=0 \ /\cdot(y-x) \\ 4y-\frac{1}{y-x}=0\end{cases} \\ \\ 4x(y-x)+1=0 \\ 4xy-4x^{2}+1=0 \\ 4xy=4x^{2}-1 \\ y = x- \frac{1}{4x}}\)

Teraz podstawiam do drugiego równania:

\(\displaystyle{ 4 \left( x- \frac{1}{4x} \right) - \frac{1}{x- \frac{1}{4x}-x} =0 \\
4x- \frac{1}{x} +4x=0 \\
8x- \frac{1}{x} =0 \\
8x^{2}=1 \\
x^{2}= \frac{1}{8} \\
x= \frac{\sqrt{8}}{8} \ \vee \ x= \frac{-\sqrt{8}}{8}}\)

[gilus0022]

Powróciłem do ostatnio rozwiązywanego zadania, ponieważ chciałbym je dobrze do końca rozwiązać:

\(\displaystyle{ f\left(x,y\right) = 2 x^{2} + 2 y^{2} - \ln \left(y-x\right) \\
y - x > 0\\ y > x \\}\)

Pochodne:
\(\displaystyle{ \frac{\text df}{\text{d}x}=4x+\frac{1}{y-x} \\ \frac{\text df}{\text{d}y}=4y-\frac{1}{y-x}}\\ \\ \begin{cases}4x+\frac{1}{y-x}=0 \ /\cdot(y-x) \\ 4y-\frac{1}{y-x}=0\end{cases} \\ \\ 4x(y-x)+1=0 \\ 4xy-4x^{2}+1=0 \\ 4xy=4x^{2}-1 \\ y = x- \frac{1}{4x}}\)

Teraz podstawiam do drugiego równania:
\(\displaystyle{ 4 \left( x- \frac{1}{4x} \right) - \frac{1}{x- \frac{1}{4x}-x} =0 \\ 4x- \frac{1}{x} +4x=0 \\ 8x- \frac{1}{x} =0 \\ 8x^{2}=1 \\ x^{2}= \frac{1}{8} \\ x= \frac{\sqrt{8}}{8} \ \vee \ x= \frac{-\sqrt{8}}{8} \\ \\ y= \frac{-\sqrt{8}}{8} \ \vee \ y= \frac{\sqrt{8}}{8}}\)

W tym miejscu uwzględniając początkowe założenia...
\(\displaystyle{ y > x}\)

... punkt stacjonarny ma współrzędne \(\displaystyle{ \left(\frac{-\sqrt{8}}{8}, \frac{\sqrt{8}}{8}\right)}\)

Zgadza się?
Będe wdzięczny za pomoc

[Chromosom]

\(\displaystyle{ \begin{cases}4x+\frac{1}{y-x}=0 \ /\cdot(y-x) \\ 4y-\frac{1}{y-x}=0\end{cases}}\)

tutaj wystarczyłoby dodać równania stronami, poza tym dobrze