Ekstrema funkcji jednej zmiennej

[gosia19]

Znajdź ekstrema funkcji \(\displaystyle{ y=\sqrt[3]{x^2 e^{-x}}}\).

Pochodna \(\displaystyle{ y'=e^{-\frac{x}{3}} \left( \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}x^{\frac{2}{3}} \right)}\) zeruje się tylko w \(\displaystyle{ x=2}\). Jak uzasadnić, że ta funkcja ma także ekstremum w \(\displaystyle{ x=0}\)?

[Chromosom]

Często popełnianym błędem jest szukanie ekstremów jedynie w tych punktach, gdzie pochodna przyjmuje zerową wartość. Jest to warunek konieczny, ale tylko wtedy gdy pochodna w tym punkcie istnieje. Czyli ekstremum nie może istnieć w tym punkcie, gdzie pochodna istnieje i przyjmuje niezerową wartość. Jeśli jednak funkcja nie jest w danym punkcie różniczkowalna, należy stwierdzić istnienie ekstremum na podstawie definicji. Przykładem takiej funkcji jest \(\displaystyle{ f(x)=|x|}\); nietrudno stwierdzić istnienie ekstremum w odpowiednim punkcie. Znajdź najpierw punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna.