Twierdzenie Heinego-Borela - dowód

[x88x]

Proszę o pomoc w udowodnieniu Twierdzenia: Zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawarty w \(\displaystyle{ X}\) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty i ograniczony.
Z góry dziękuję za pomoc

[Adifek]

Z jednego ze skryptów:

Domkniętość i ograniczoność nie gwarantuje zwartości w dowolnych przestrzeniach.
Przykład: \(\displaystyle{ X = (0, 1)}\) jest ograniczona i domknieta w sobie, ale nie jest zwarta, bo \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) nie ma podciągu zbieżnego.

Dowód (ale z dodatkowymi założeniami ) jest na angielskiej wiki
W dyskusji do artykułu także jest sporo o dowodzie.

[Ein]

\(\displaystyle{ X}\) musi być skończenie wymiarową przestrzenią unormowaną.

[Wasilewski]

To nieprawda (albo nie zrozumiałem sensu wypowiedzi), przecież przestrzeń funkcji holomorficznych na jakimś zbiorze otwartym też ma tę własność.

[pipol]

Dla przestrzeni liniowo topologicznej \(\displaystyle{ X}\) zachodzi równoważnoś:
Domknięte otocznie zera \(\displaystyle{ U}\) jest zwarte \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest skończenie wymiarowa.
Wniosek z tego taki, przestrzeń funkcji holomorficznych na zbiorze otwartym nie zawiera ograniczonego otoczenia zera, tym samym nie jest normowalna.

[Wasilewski]

To wiadomo, ale nikt nie twierdził, że jest normowalna.

[pipol]

To wiadomo, ale nikt nie twierdził, że jest normowalna.

Nie twierdze, że ktoś stwierdził, wynika stąd tylko tyle, że nie zawiera ograniczonego otoczenia zera. Nie widzę więc w czy masz problem?

[Wasilewski]

Po prostu wydawało mi się, że z mojej wypowiedzi wyciągnąłeś wniosek, że sugeruję co innego, a zwyczajnie podałeś ciekawostkę.