Całka podwójna po obszarze koła
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Całka podwójna po obszarze koła
Mam problem z taką całeczką:
\(\displaystyle{ \iint e^{- x^{2} - y^{2} } \ \mbox{d}x \ \mbox{d}y}\)
Ograniczeniem jest okrąg
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} \le a^{2}}\)
Zapisuję ją tak:
\(\displaystyle{ \int_{-a}^{a} \int_{ -\sqrt{ a^{2}-x^{2} } }^{ \sqrt{ a^{2}-x^{2}}} e^{-x^{2}-y^{2} }\ \mbox{d}x \ \mbox{d}y}\)
I nie wiem co dalej. Proszę o pomoc. Choćby o wskazówkę.
\(\displaystyle{ \iint e^{- x^{2} - y^{2} } \ \mbox{d}x \ \mbox{d}y}\)
Ograniczeniem jest okrąg
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} \le a^{2}}\)
Zapisuję ją tak:
\(\displaystyle{ \int_{-a}^{a} \int_{ -\sqrt{ a^{2}-x^{2} } }^{ \sqrt{ a^{2}-x^{2}}} e^{-x^{2}-y^{2} }\ \mbox{d}x \ \mbox{d}y}\)
I nie wiem co dalej. Proszę o pomoc. Choćby o wskazówkę.
Ostatnio zmieniony 23 sie 2011, o 18:36 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Całka podwójna po obszarze koła
Właśnie tutaj mam wątpliwości. Czyli podstawiam w całym działaniu \(\displaystyle{ x=a \cdot \cos \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ y=a \cdot \sin \alpha}\) , tak? W takim razie przez co całkuję w nowym wyrażeniu? Co pojawia się w miejscu \(\displaystyle{ \mbox{d}x \ i \ \mbox{d}y}\)?
Ostatnio zmieniony 22 sie 2011, o 20:26 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: symbol mnożenia to \cdot
Powód: symbol mnożenia to \cdot
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Całka podwójna po obszarze koła
Podstawiaszgodofmayhem pisze:Właśnie tutaj mam wątpliwości. Czyli podstawiam w całym działaniu \(\displaystyle{ x=a*\cos \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ y=a*\sin \alpha}\) , tak? W takim razie przez co całkuję w nowym wyrażeniu?
\(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ y=r \cdot \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ r \cdot \mbox{d} \alpha \cdot \mbox{d}r}\)Co pojawia się w miejscu \(\displaystyle{ \mbox{d}x \ i \ \mbox{d}y}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Całka podwójna po obszarze koła
A skąd się bierze \(\displaystyle{ r}\) przed \(\displaystyle{ r \cdot \mbox{d} \alpha \cdot \mbox{d}r}\) ?
I mimo podstawienia, działanie nie wygląda przyjaźniej... nie wiem jak policzyć całkę postaci
\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^{- x^{2} - y^{2} } dx}\)
I mimo podstawienia, działanie nie wygląda przyjaźniej... nie wiem jak policzyć całkę postaci
\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^{- x^{2} - y^{2} } dx}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Całka podwójna po obszarze koła
Jakobian stosuje się przy zamianie zmiennych. Jest to wyznacznik pierwszych pochodnych. Resztę doczytasz.
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Całka podwójna po obszarze koła
No dobra, a mógłbyś jeszcze pokazać, jak powinno wyglądać to działanie po tym podstawieniu? Coś mi się tu nie zgadza, a to moje pierwsze zadanie tego typu.
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Całka podwójna po obszarze koła
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \left ( \int_{0}^{a}r \cdot \mbox {e} ^{-r ^{2} } \mbox {d}r \right ) \mbox{d} \alpha}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Całka podwójna po obszarze koła
Nie wiem tylko skąd wzieły się te przedziały całkowania.
Jeśli podstawiam np. \(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \alpha}\) bezpośrednio do \(\displaystyle{ \int_{ -\sqrt{ a^{2}- x^{2} } }^{ \sqrt{a^{2}- x^{2}} }}\), albo \(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}- x^{2}} = r \cdot \cos \alpha}\), to wychodzą mi dziwne rzeczy...
Jeśli podstawiam np. \(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \alpha}\) bezpośrednio do \(\displaystyle{ \int_{ -\sqrt{ a^{2}- x^{2} } }^{ \sqrt{a^{2}- x^{2}} }}\), albo \(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}- x^{2}} = r \cdot \cos \alpha}\), to wychodzą mi dziwne rzeczy...
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Całka podwójna po obszarze koła
Z tego:Nie wiem tylko skąd wzieły się te przedziały całkowania.
Ograniczeniem jest okrąg
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} \le a^{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Całka podwójna po obszarze koła
Chodziło mi o przedziały w tym działaniu:
Jak podstawiłeś \(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \alpha}\) do \(\displaystyle{ \int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{ a^{2}-x^{2} }}^{ \sqrt{ a^{2}-x^{2} } }}\) ?aalmond pisze:\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \left ( \int_{0}^{a}r \cdot \mbox {e} ^{-r ^{2} } \mbox {d}r \right ) \mbox{d} \alpha}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Całka podwójna po obszarze koła
Dlaczego miałbym tu podstawiać?godofmayhem pisze:Chodziło mi o przedziały w tym działaniu:Jak podstawiłeś \(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \alpha}\) do \(\displaystyle{ \int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{ a^{2}-x^{2} }}^{ \sqrt{ a^{2}-x^{2} } }}\) ?aalmond pisze:\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \left ( \int_{0}^{a}r \cdot \mbox {e} ^{-r ^{2} } \mbox {d}r \right ) \mbox{d} \alpha}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ x = r \cdot \cos \alpha \\
y = r \cdot \sin \alpha}\)
przekształca koło:
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 \le a}\)
na prostokąt:
\(\displaystyle{ 0 \le r \le a \\
0 \le \alpha \le 2 \pi}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy