Czy podzbiory dodatnich liczb rzeczywistych są równoliczne?

[kosa248]

Mamy twierdzenia:

1. Zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny z podzbiorem dodatnich liczb rzeczywistych.

2. Zbiory A i B są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje między nimi funkcja wzajemnie jednoznaczna.

Rozpatrzmy przedział <1,10> (niech to będzie zbiór X). Jest on niewątpliwie podzbiorem dodatnich liczb rzeczywistych, więc na podstawie twierdzenia 1. jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.

Teraz weźmy przedział <10,100> (niech to będzie zbiór Y). Jest on również podzbiorem dodatnich liczb rzeczywistych, więc także jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.

Na logikę wychodzi, że zbiory X i Y są równoliczne i rzeczywiście istnieje między nimi funkcja wzajemnie jednoznaczna, bo mając liczbę należącą do zbioru X (oznaczmy ją przez x) wystarczy przesunąć przecinek w prawo o jedno miejsce, aby otrzymać liczbę z przedziału Y (oznaczmy ją jako y), a funkcja ta wyraża się wzorem y=10x.

Jednak co dziś zauważyłem:

Jeśli weźmiemy sobie \(\displaystyle{ x \in N}\) to każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ x, \ ...}\)

gdzie poprzez "..." pozwoliłem sobie oznaczyć dowolną kombinację dowolnej liczby cyfr.

Ile jest "typów" liczb należących do zbioru X? Dziewięć:

\(\displaystyle{ 1, \ ... \\
2, \ ... \\
3, \ ... \\
4, \ ... \\
5, \ ... \\
6, \ ... \\
7, \ ... \\
8, \ ... \\
9, \ ...}\)

Natomiast "typów" liczb należących do zbioru Y jest 90:

\(\displaystyle{ 10, \ ... \\
11, \ ... \\
12, \ ... \\
. \\
. \\
20, \ ... \\
. \\
. \\
30, \ ... \\
. \\
. \\
90, \ ... \\
. \\
. \\
98, \ ... \\
99, \ ...}\)

Więc aby oba zbiory były równoliczne, to w liczbach zbioru Y musi istnieć 10-krotnie mniej kombinacji cyfr po przecinku, niż w zbiorze X, dobrze myślę? Jednak tych kombinacji jest tyle samo... Może ktoś mi wytłumaczyć, gdzie się mylę?

[Rogal]

Przede wszystkim "podzbiór dodatnich liczb rzeczywistych" to przedział \(\displaystyle{ (0, +\infty)}\). Ale to nie zmienia faktu, że podane przez Ciebie przedziały są równoliczne z R.
A Twój problem polega na tym, co problem większości ludzi, gdy stykają się z nieskończonością.
Mówisz, że w drugim z tych zbiorów jest dziesięciokrotnie więcej kombinacji cyfr po przecinku niż w pierwszym. Jaki ma jednak sens "dziesięciokrotność nieskończoności"?

[kosa248]

Przede wszystkim "podzbiór dodatnich liczb rzeczywistych" to przedział \(\displaystyle{ (0, +\infty)}\)

Myślałem że takim podzbiorem może być także dowolny przedział mający początek i koniec w dodatniej części liczb rzeczywistych... Ahh, czyli pod pojęciem "podzbiór dodatnich liczb rzeczywistych" rozumiemy podzbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych, czyli \(\displaystyle{ R^+}\)...

Ale to nie zmienia faktu, że podane przez Ciebie przedziały są równoliczne z R.

Ok, czyli są równoliczne między sobą (?)

A Twój problem polega na tym, co problem większości ludzi, gdy stykają się z nieskończonością.
Mówisz, że w drugim z tych zbiorów jest dziesięciokrotnie więcej kombinacji cyfr po przecinku niż w pierwszym. Jaki ma jednak sens "dziesięciokrotność nieskończoności"?

Nie, mówię, że musiałoby ich być dziesięciokrotnie mniej, aby oba zbiory były równoliczne, ale przecież wiemy, że tych kombinacji jest tyle samo.

[Rogal]

Tak, są równoliczne i tych kombinacji jest tyle samo. Czyli nieskończoność i nazywamy ją continuum w odróżnieniu od nieskończoności "przeliczalnej" w przypadku zbioru N. Jak już wiesz continuum jest większe od "przeliczalności".

[kosa248]

Ok, co do kombinacji cyfr po przecinku się dogadaliśmy. Ale kombinacji cyfr przed przecinkiem jest 10-krotnie więcej w zbiorze Y niż w zbiorze X. Czy mimo to oba zbiory są równoliczne? Przecież cały zbiór X zawarłbym w przedziale <11,20> który jest tylko częścią zbioru Y, więc co z jego resztą? Nie ma zupełnie znaczenia?

edit
tzn. nie cały zbiór X, bo przecież żaden z elementów zbioru X nie zawiera się w przedziale <11,20> ale chodziło mi o to, że w przedziale <11,20> mieści się tyle samo elementów, co w zbiorze X.

[miki999]

Podpowiem tylko, że dla zbiorów nieskończonych pojęcie równoliczności nie bardzo można traktować intuicyjnie. Tak samo jak używanie słów w stylu "elementów/kombinacji jest więcej" jest pomyłką.
Mamy definicję, więc nasze dociekania powinny raczej kierować się w jednym z 2 poniższych kierunków:
- znaleźć funkcję wzajemnie jednoznaczną
- udowodnić, że takowa nie istnieje.

[Rogal]

Co gorsza:
\(\displaystyle{ (0, 10) \subset (0, 100) \subset (0, 1000) \subset (0, 10000) \subset \dots}\)
A wszystkie mają tę samą moc i ich suma czyli rzeczywiste dodatnie ma tę samą moc co i one same.
Oswajaj się.

[kosa248]

Co gorsza:
\(\displaystyle{ (0, 10) \subset (0, 100) \subset (0, 1000) \subset (0, 10000) \subset \dots}\)
A wszystkie mają tę samą moc i ich suma czyli rzeczywiste dodatnie ma tę samą moc co i one same.
Oswajaj się.

Patrząc w kontekście definicji na równoliczność dwóch zbiorów jest to absolutnie prawda, bo liczby należące do tych przedziałów to tak naprawdę te same kombinacje cyfr, a to, do których przedziałów należą, a do których nie, zależy tylko od tego, w którym miejscu jest przecinek. Jednak chciałem, abyście spojrzeli na to z innej strony. Nikt poza mną nie widzi tu paradoksu?

[miki999]

Ja niestety nie widzę.

[kosa248]

Trochę inaczej zobrazuję, o co mi chodzi:

Mamy liczby z przedziału <1,10) ale tylko takie, które mają rozwinięcie dziesiętne do maksymalnie dwóch miejsc po przecinku, czyli:
\(\displaystyle{ 1,00 \\ 1,01 \\...\\9,99}\)
Kombinacji liczb po przecinku mamy 100, a kombinacji liczb przed przecinkiem, a właściwie cyfr, mamy 9, więc wszystkich liczb jest 100*9 =900.

Mamy też liczby z przedziału <10,100), lecz nie wiemy z jak długim maksymalnym rozwinięciem dziesiętnym. Kombinacji cyfr przed przecinkiem jest 90.

Aby oba przedziały były równoliczne, w drugim zbiorze musi być 900 liczb, więc kombinacji liczb po przecinku musi być 10.

Wniosek: Aby przedziały były równoliczne, liczby z przedziału <10,100) mogą mieć rozwinięcie dziesiętne do maksymalnie jednego miejsca po przecinku, by liczba kombinacji cyfr po przecinku była odpowiednia.

Jeśli rozważymy w ten sam sposób te same przedziały, ale zawierające liczby z nieograniczoną liczbą miejsc po przecinku, powstanie paradoks.

[miki999]

Jeśli rozważymy w ten sam sposób te same przedziały, ale zawierające liczby z nieograniczoną liczbą miejsc po przecinku, powstanie paradoks.

Dlaczego? Ponieważ muszą mieć \(\displaystyle{ \infty -1}\) cyfr po przecinku? Trochę bez sensu. Tak jakby porównywać, że zbiór dwuelementowy nie jest równoliczny z czteroelementowym, więc odcinek \(\displaystyle{ (0, 2)}\) nie może być równoliczny z \(\displaystyle{ (0, 4)}\)

[kosa248]

Spójrz na to tak:

Masz dwie ciecze: jedna ma objętość 2 litry, a druga ma objętość 4 litry, lecz obie ważą tyle samo. Wniosek - gęstość pierwszej cieczy jest dwa razy większa od gęstości drugiej cieczy.

Masz dwa przedziały: \(\displaystyle{ (0,2)}\) i \(\displaystyle{ (0,4)}\). Oba są równoliczne. Wniosek - "gęstość" liczb w pierwszym przedziale jest dwukrotnie większa od "gęstości" liczb w drugim przedziale. Jednak w przypadku liczb nie można mówić o "gęstości"! Ale to tak samo, jakby stwierdzić: Różnica między dwiema kolejnymi liczbami pierwszego przedziału jest dwukrotnie mniejsza od różnicy między dwiema kolejnymi liczbami drugiego przedziału. Czy jest to możliwe? Nie. Więc dlaczego te zbiory mają być równoliczne? Z tego punktu widzenia nie ma żadnych powodów, by twierdzić, że są.

[miki999]

Samo stwierdzenie "2 kolejne liczby" jest dla mnie paradoksalne

Z tego punktu widzenia nie ma żadnych powodów, by twierdzić, że są.

Z tego pkt. widzenia tak. Tyle że to intuicja niemająca wiele wspólnego z definicją

Oczywiście pojmuję, co masz na myśli.

[kosa248]

Zastanawia mnie tylko, dlaczego liczby mające nieskończenie wiele cyfr uchodzą za rzeczywiste. Bo normalnie jeśli pomnożymy dwie liczby przez x, to różnica między nimi zwiększa się x razy. Przedziały \(\displaystyle{ X:(1,10)}\) i \(\displaystyle{ Y:(10,100)}\) są w teorii równoliczne, bo istnieje między nimi funkcja wzajemnie jednoznaczna \(\displaystyle{ y=10x}\) gdzie \(\displaystyle{ y \in Y}\) i \(\displaystyle{ x \in X}\) więc różnica pomiędzy kolejnymi liczbami zbioru Y powinna być 10-krotnie większa od różnicy pomiędzy kolejnymi liczbami zbioru X, ale to nie zachodzi. Zresztą jak słusznie zauważyłeś, stwierdzenie "dwie kolejne liczby" jest paradoksalne... Dlatego dla mnie te liczby są surrealistyczne, zwyczajnie nie chcą się podporządkować prawom matematyki . Chociaż zaraz zaraz... co z ułamkami okresowymi, większością pierwiastków... One jak najbardziej są rzeczywiste. Ehh...

[miki999]

No właśnie, ta matematyka jest już taka... naciągana
Tak jak to że \(\displaystyle{ 0,(9)=1}\)- paradoksalne, ale prawdziwe.