Witam,
proszę o podpowiedź jak zauważyć, że dla \(\displaystyle{ r\in\mathbb{N}}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \int_{r-\frac{1}{2}}^{r+\frac{1}{2}}{\log x \tr{d}x} < \log r}\)?
Dla ustalonego \(\displaystyle{ r}\) policzyłem całkę
\(\displaystyle{ \left(r+\frac{1}{2}\right)\log\left(r+\frac{1}{2}\right) - \left(r-\frac{1}{2}\right)\log\left(r-\frac{1}{2}\right) - 1 < \log r}\)
dalej z własności logarytmu,
\(\displaystyle{ \log \frac{\left(r+\frac{1}{2}\right)^{\left(r+\frac{1}{2}\right)}}{\left(r-\frac{1}{2}\right)^{\left(r-\frac{1}{2}\right)}} - 1<\log r}\).
Ale tutaj nadal nic nie jestem w stanie stwierdzić
nierówność z całką z logarytmu
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 8 lut 2011, o 18:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 4 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
nierówność z całką z logarytmu
Jako, że logarytm jest funkcją wklęsłą, styczna do wykresu dla \(\displaystyle{ x=r}\), będzie znajdować się nad wykresem funkcji.
Zatem porównując całkę z polem odpowiedniego trapezu mamy:
\(\displaystyle{ \int_{r-\frac{1}{2}}^{r+\frac{1}{2}}{\log x \tr{d}x} < \frac{1}{2} \left[ \left( \log r + \frac{1}{r}(r + \frac{1}{2} - r )\right) + \left( \log r + \frac{1}{r} ( r - \frac{1}{2} - r)\right) \right] = \log r}\)
mniej więcej tak :
Zatem porównując całkę z polem odpowiedniego trapezu mamy:
\(\displaystyle{ \int_{r-\frac{1}{2}}^{r+\frac{1}{2}}{\log x \tr{d}x} < \frac{1}{2} \left[ \left( \log r + \frac{1}{r}(r + \frac{1}{2} - r )\right) + \left( \log r + \frac{1}{r} ( r - \frac{1}{2} - r)\right) \right] = \log r}\)
mniej więcej tak :
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 8 lut 2011, o 18:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 4 razy
nierówność z całką z logarytmu
Ok.. ale skąd takie długości podstaw?
Z rysunku wychodziłoby
\(\displaystyle{ \int_{r-\frac{1}{2}}^{r+\frac{1}{2}}{\log x \tr{d}x} < \frac{1}{2} \left[ \log \left(r + \frac{1}{2}\right) + \log \left( r - \frac{1}{2} \right) \right]}\)
Z rysunku wychodziłoby
\(\displaystyle{ \int_{r-\frac{1}{2}}^{r+\frac{1}{2}}{\log x \tr{d}x} < \frac{1}{2} \left[ \log \left(r + \frac{1}{2}\right) + \log \left( r - \frac{1}{2} \right) \right]}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
nierówność z całką z logarytmu
Równanie stycznej: \(\displaystyle{ y - \log r = \frac{x - r}{r}}\) i tu podstawiamy \(\displaystyle{ x = r \pm \tfrac{1}{2}}\), bo chodzi o trapez zbudowany z tej stycznej, a nie z wykresu funkcji.
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 8 lut 2011, o 18:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 4 razy