Wykazać z definicji zbieżność szeregu.

[Insol3nt]

\(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{\cos \left(n-1\right)\pi}{4^n}< \infty}\)

Przekształcam to tak:

\(\displaystyle{ \sum_{0}^{ \infty } \frac{\cos \left(n\pi\right)}{4^{n+1}}= \sum_{0}^{ \infty } \frac{\left(-1\right)^n}{16^n}=\sum_{0}^{ \infty } \left( \frac{-1}{16}\right)^n}\)

Jest to szereg geometryczny o \(\displaystyle{ q= - \frac{1}{16}}\)

I z definicji:
\(\displaystyle{ \lim_{ N\to \infty } \sum_{n=0}^{ N } \left(- \frac{1}{16}\right)^n}\)

proszę o sprawdzenie.

[Chromosom]

Twoje przekształcenia nie były konieczne, można było uprościć już pierwotną postać, ale to rozwiązanie też jest poprawne

[Insol3nt]

To w takim razie czy prawdziwe jest: \(\displaystyle{ \cos(n-1)\pi = (-1)^{n-1}}\) ?

[Chromosom]

podstaw \(\displaystyle{ n=1,\ n=2,\,\ldots}\) i sprawdź