Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 20 sie 2011, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 2 razy
Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?
Zupełnie przypadkowo znalazłem na wikipedii, że Cantor udowodnił, iż moc przedziału [0,1] jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych, tj. nie da się ponumerować wszystkich liczb z tego przedziału. Wydało mi się to dziwne i dało do myślenia, czy rzeczywiście tak jest, bo według mnie są to zbiory równoliczne. Na pewno jestem w błędzie i chciałbym, żeby ktoś mnie z tego błędu wyprowadził.
Skoro Zbiory A i B są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje między nimi funkcja wzajemnie jednoznaczna, próbowałem znaleźć taką funkcję.
Pierwszy banalnie prosty pomysł, jaki wpadł mi do głowy, to do każdej liczby dopisywać z lewej strony "0," jednak wtedy nie będzie to funkcja różnowartościowa:
\(\displaystyle{ 1 \rightarrow 0,1}\)
\(\displaystyle{ 10 \rightarrow 0,1}\)
Wpadłem więc na taki pomysł:
Do dowolnej liczby naturalnej dopisujemy końcówkę "0,0" czyli w praktyce mnożymy ją razy 10 i dopisujemy rozwinięcie dziesiętne do jednego miejsca po przecinku, czyli np.:
\(\displaystyle{ 1 \rightarrow 10,0}\)
\(\displaystyle{ 23 \rightarrow 230,0}\)
\(\displaystyle{ 100 \rightarrow 1000,0}\)
Po takim przekształceniu liczby naturalnej czytamy ją z prawej do lewej i otrzymujemy liczbę z przedziału tym razem[0; 0,1] która jest przyporządkowana do danej liczby naturalnej, np.:
\(\displaystyle{ 1 \rightarrow 0,01}\)
\(\displaystyle{ 23 \rightarrow 0,032}\)
\(\displaystyle{ 100 \rightarrow 0,0001}\)
Na pewno nie ma kilku różnych liczb naturalnych, którym w ten sposób przypisana byłaby ta sama liczba, więc aby przedział [0; 0,1] nie był równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, trzeba znaleźć taką liczbę z przedziału [0; 0,1], z której po odwrotnym przekształceniu (przeczytaniu od prawej strony i podzieleniu przez 10) otrzymamy liczbę nie będącą liczbą naturalną... Co jest niemożliwe...(?)
Teraz jeśli zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny z podzbiorem dodatnich liczb rzeczywistych, to przedział [0,1] jest równoliczny z przedziałem [0; 0,1], a więc jeśli przedział [0; 0,1] jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (udowodnijcie, że moja funkcja nie jest wzajemnie jednoznaczna), to Cantor nie miał racji albo mamy paradoks.
W którym momencie się mylę?
Skoro Zbiory A i B są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje między nimi funkcja wzajemnie jednoznaczna, próbowałem znaleźć taką funkcję.
Pierwszy banalnie prosty pomysł, jaki wpadł mi do głowy, to do każdej liczby dopisywać z lewej strony "0," jednak wtedy nie będzie to funkcja różnowartościowa:
\(\displaystyle{ 1 \rightarrow 0,1}\)
\(\displaystyle{ 10 \rightarrow 0,1}\)
Wpadłem więc na taki pomysł:
Do dowolnej liczby naturalnej dopisujemy końcówkę "0,0" czyli w praktyce mnożymy ją razy 10 i dopisujemy rozwinięcie dziesiętne do jednego miejsca po przecinku, czyli np.:
\(\displaystyle{ 1 \rightarrow 10,0}\)
\(\displaystyle{ 23 \rightarrow 230,0}\)
\(\displaystyle{ 100 \rightarrow 1000,0}\)
Po takim przekształceniu liczby naturalnej czytamy ją z prawej do lewej i otrzymujemy liczbę z przedziału tym razem[0; 0,1] która jest przyporządkowana do danej liczby naturalnej, np.:
\(\displaystyle{ 1 \rightarrow 0,01}\)
\(\displaystyle{ 23 \rightarrow 0,032}\)
\(\displaystyle{ 100 \rightarrow 0,0001}\)
Na pewno nie ma kilku różnych liczb naturalnych, którym w ten sposób przypisana byłaby ta sama liczba, więc aby przedział [0; 0,1] nie był równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, trzeba znaleźć taką liczbę z przedziału [0; 0,1], z której po odwrotnym przekształceniu (przeczytaniu od prawej strony i podzieleniu przez 10) otrzymamy liczbę nie będącą liczbą naturalną... Co jest niemożliwe...(?)
Teraz jeśli zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny z podzbiorem dodatnich liczb rzeczywistych, to przedział [0,1] jest równoliczny z przedziałem [0; 0,1], a więc jeśli przedział [0; 0,1] jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (udowodnijcie, że moja funkcja nie jest wzajemnie jednoznaczna), to Cantor nie miał racji albo mamy paradoks.
W którym momencie się mylę?
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?
Cantor miał rację i oszalał z tego powodu notabene, więc brałbym na poważnie jego pracę.
Ale fajnie, że w tym wieku Cię coś takiego interesuje.
Proste pytanie - dla jakiej liczby naturalnej ta funkcja osiąga liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ \frac{1}{3}?}\)
Ale fajnie, że w tym wieku Cię coś takiego interesuje.
Proste pytanie - dla jakiej liczby naturalnej ta funkcja osiąga liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ \frac{1}{3}?}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 20 sie 2011, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 2 razy
Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?
To pytanie akurat jest niewłaściwe, bo maksymalna wartość funkcji tej wynosi 0,1. Ale sam się sobie dziwię, że zapomniałem o ułamkach mających rozwinięcie dziesiętne nieskończone
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?
A skąd te informacje? To tylko jakieś popularne i niezbyt prawdziwe pogłoski. Cantor miał chorobę afektywną dwubiegunową (cyklofrenię), ale twierdzenie, że oszalał z powodu ww. dowodu są nieprawdziwe.Rogal pisze:Cantor miał rację i oszalał z tego powodu notabene, więc brałbym na poważnie jego pracę.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?
Oj, to taka anegdotka jak z Gaussem i sumą ciągu arytmetycznego.
Faktem jednak jest, że wylądował w psychuszce PO stworzeniu podwalin teorii mocy.
Faktem jednak jest, że wylądował w psychuszce PO stworzeniu podwalin teorii mocy.
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?
Poczytaj dokładniej życiorys Cantora. Jeżeli coś mogło być katalizatorem jego choroby i przyczyniło się do pierwszego ataku cyklofrenii, to raczej konflikt z "matematyczną opinią publiczną" (zwłaszcza z Kroneckerem) oraz kłopoty z hipotezą continuum, a nie stworzenie podwalin teorii mocy.
Ja trochę czytałem, bo pisałem o nim artykuł biograficzny do "Matematyki".
JK
Ja trochę czytałem, bo pisałem o nim artykuł biograficzny do "Matematyki".
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?
Zbyt poważnie to Pan odebrał. Ale nie dziwię się - w końcu to Pański konik i muszą denerwować Pana bezmyślnie powtarzane nieprawdziwe anegdotki na temat twórców tej teorii.
Także obiecuję poprawę i dokształcanie, choć bardziej leży mi akurat Galois.
Także obiecuję poprawę i dokształcanie, choć bardziej leży mi akurat Galois.
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?
Bez przesady, nie aż tak poważnie
Po prostu wydaje mi się, że Cantor na to nie zasłużył. Swoja drogą, kiedyś - mając o Cantorze wiedzę wyłącznie potoczną - też wygłaszałem takie stwierdzenia...
JK
Po prostu wydaje mi się, że Cantor na to nie zasłużył. Swoja drogą, kiedyś - mając o Cantorze wiedzę wyłącznie potoczną - też wygłaszałem takie stwierdzenia...
JK