Mam małe pytanie:
Jak przejść do współrzędnych biegunowych w równaniu opisującym walec \(\displaystyle{ (x^2+y^2)^2=2a^2xy}\)
tzn. czemu są równe: \(\displaystyle{ \begin{cases} x(r,\theta)=... \\ y(r,\theta)=... \end{cases}}\)?
i jak opisać obszar zmienności \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ \theta}\)?
Podejrzewam, że \(\displaystyle{ 0\le \theta \le 2 \pi}\), bo jeżeli napisano w poleceniu "walec" to musi on 'obiegać' początek układu współrzędnych, czy to jest dobra intuicja? Jak to wyznaczać?
Z gory dziękuję za pomoc.
miodzio1988 pisze:
do tego równania wstaw współrzędne biegunowe.
po podstawieniu mam \(\displaystyle{ r^2=a^2sin2\theta}\)
stąd wynika, że \(\displaystyle{ 0 \le r \le a}\) i \(\displaystyle{ \begin{cases} x(r,\theta)=a\sqrt{sin2\theta}cos\theta \\ y(r,\theta)=a\sqrt{sin2\theta}sin\theta \end{cases}}\)?
Ale nadal nie wiem jak zmienia się \(\displaystyle{ \theta}\).
A dlaczego \(\displaystyle{ r \in (0,a)}\) ? Jak spierwiastkujesz obie strony to nam coś innego wyjdzie po prawej stronie. I kąt też weźmiemy z tego, że prawa strona musi być dodatnia
Prawa strona dodatnia, więc \(\displaystyle{ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}}\) lub \(\displaystyle{ \pi \le \theta \le \frac{3\pi}{2}}\). Wówczas \(\displaystyle{ |r|=a\sqrt{sin2\theta}}\) ale \(\displaystyle{ 0 \le a\sqrt{sin2\theta} \le a}\) więc \(\displaystyle{ r \in [-a,a]}\) (no tak, było źle wtedy).
Czyli przedstawienie biegunowe tej krzywej to \(\displaystyle{ \begin{cases} x(r,\theta)=rcos\theta \\ y(r,\theta)=rsin\theta \end{cases}}\) przy czym \(\displaystyle{ r \in [-a,a]}\) i \(\displaystyle{ \theta \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] \cup \left[ \pi, \frac{3\pi}{2} \right]}\)?
miodzio1988 pisze:Tylko tego sinusa tak sobie nie możesz ograniczyć przez jedynkę
dalczego? ;p \(\displaystyle{ r}\) nie może być większe od \(\displaystyle{ a}\), bo wtedy równanie \(\displaystyle{ r^2=a^2sin2\theta}\) nie miałoby sensu, więc wg mnie musi być \(\displaystyle{ 0 \le a\sqrt{sin2\theta} \le a}\).
No ok, ale u nas, ten sinus przyjmuje wartość 1 dla argumentu \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) np.
Z innego punktu widzenia: sugerujesz, że jest lepsze (we wskazanym sensie) ograniczenie dla wyrażenia \(\displaystyle{ a\sqrt{sin2\theta}}\), tzn. \(\displaystyle{ a\sqrt{sin2\theta} \le \xi <a}\)
Mamy zatem \(\displaystyle{ r^2=a^2sin2\theta \le \xi^2}\)
więc \(\displaystyle{ \begin{cases} x(r,\theta)=rcos\theta \\ y(r,\theta)=rsin\theta \end{cases}}\) gdzie \(\displaystyle{ -\xi \le r \le \xi}\) i \(\displaystyle{ \theta \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] \cup \left[ \pi, \frac{3\pi}{2} \right]}\)
Połóżmy \(\displaystyle{ \theta= \frac{\pi}{4}}\) wtedy \(\displaystyle{ x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}r}\)
i wstawiając to do \(\displaystyle{ (x^2+y^2)^2=2a^2xy}\) mamy \(\displaystyle{ r^3=a^2}\) wtw \(\displaystyle{ r=a}\), ale \(\displaystyle{ r<a}\) ?
Musi być \(\displaystyle{ 0 \le a\sqrt{sin2\theta} \le a}\)
Może podpowiem - Tomku, to ograniczenie, które Ci wychodzi \(\displaystyle{ 0 \leq r = a \sqrt{\sin 2 \theta}}\), to już jest koniec - r przebiega właśnie taki przedział od zera do tego a pierwiastków...
