Kolejna granica

witek010 · Post autor: **witek010** » 20 sie 2011, o 18:47

Do obliczenia (nie stosując reguły de l'Hospitala)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{\tg x - \sin x}{x ^{3} }}\)

Macie jakąś wskazówkę?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 sie 2011, o 18:48

\(\displaystyle{ \sin x}\) wyciągnij przed nawias

witek010 · Post autor: **witek010** » 20 sie 2011, o 19:44

miodzio1988 pisze:\(\displaystyle{ \sin x}\) wyciągnij przed nawias

Ok zrobiłem to i mam coś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x\left( \frac{1}{\cos x} - \right 1) }{x \cdot x ^{2} }}\)

Co dalej? Myślałem, żeby skorzystać z wzoru na podwojony cosinus, ale wtedy mianowniku ciągle mam 1 i nie wiem jak się go pozbyć?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 sie 2011, o 19:47

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{x}=1}\)

Zostaje Ci kolejna granica do rozszyfrowania

witek010 · Post autor: **witek010** » 20 sie 2011, o 20:01

miodzio1988 pisze:\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{x}=1}\)

Zostaje Ci kolejna granica do rozszyfrowania

Tak wiem, właśnie o niej pisałem w poprzednim poście, że mam problem.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 sie 2011, o 20:02

No to wzorki trygonometryczne do łapki i przekształcaj

witek010 · Post autor: **witek010** » 20 sie 2011, o 20:06

miodzio1988 pisze:No to wzorki trygonometryczne do łapki i przekształcaj

Przekształciłem korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i mam coś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{ \frac{2\sin x ^{2} \frac{x}{2} }{1 - 2\sin ^{2} \frac{x}{2} } }{x ^{2} }}\)

I nie wiem jak się pozbyć tej 1.

Chyba, że ze złego wzoru skorzystałem i można jakoś prościej? Ale nie miałem innego pomysłu.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 sie 2011, o 20:08

Jest spoko. Ale po co mianownik w ogóle ruszamy? Przecież to jest cosinus, więc kawałkiem możemy przejść do granicy

Lorek · Post autor: **Lorek** » 20 sie 2011, o 20:11

Zamiast sprowadzić \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos x}-1}\) do wspólnego mianownika to kombinujecie jak koń pod górkę

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 sie 2011, o 20:12

No właśnie myślałem, że to chłopak zrobił

witek010 · Post autor: **witek010** » 20 sie 2011, o 20:14

miodzio1988 pisze:Przecież to jest cosinus, więc kawałkiem możemy przejść do granicy

Nie rozumiem, co masz na myśli mówiąc kawałkiem przejść do granicy?

Tak sprowadziłem do wspólnego mianownika czyli do \(\displaystyle{ \cos x}\) i potem zadziałałem na tym wzorem na podwojony kąt cosinusa, ale już wiem, że nie potrzebnie.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 sie 2011, o 20:16

No właśnie. Czy ten cosinus w mianowniku jakoś będzie wpływał na naszą granice? Można go pominąć?

ares41 · Post autor: **ares41** » 20 sie 2011, o 20:18

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1-\cos{x}}{x^2\cos{x}}}\).
wystarczy rozszerzyć przez sprzężenie licznika.

witek010 · Post autor: **witek010** » 20 sie 2011, o 20:33

Rozwiązane, dzięki za pomoc!