baza - dowód
baza - dowód
Jeżeli \(\displaystyle{ (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})}\) jest bazą to udowodnij, że \(\displaystyle{ (v_{1},v_{1}+v_{2},v_{3},v_{1}+v_{3}+v_{4})}\) też jest bazą.
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
baza - dowód
Są dwa warunki, które musi spełnić ten zbiór, aby być bazą:
1) liczba wektorów tworzących bazę, jest identyczna z wymiarem przestrzeni, z której pochodzą te wektory
2) układ wektorów jest liniowo niezależny
Czy te warunki są spełnione?
1) liczba wektorów tworzących bazę, jest identyczna z wymiarem przestrzeni, z której pochodzą te wektory
2) układ wektorów jest liniowo niezależny
Czy te warunki są spełnione?
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
baza - dowód
Pierwszy warunek jest oczywiście spełniony. Jeśli chodzi o drugi, to musisz sobie odpowiedzieć na pytanie: Kiedy układ wektorów jest liniowo niezależny?
baza - dowód
Gdy spełniony jest warunek \(\displaystyle{ \forall \alpha _{1}...\alpha _{n}\in K [\alpha _{1}x_{1}+...+\alpha _{n}x_{n}=\Theta \Rightarrow \alpha _{1}=...=\alpha _{n}=0]}\)
baza - dowód
\(\displaystyle{ \alpha _{1} v _{1}+ \alpha _{2}(v _{1}+v _{2})+ \alpha _{3}v _{3}+ \alpha _{4}(v _{1}+v _{3}+v _{4})=(0,0,0,0)}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
baza - dowód
Tak. I teraz trzeba wykazać, że ta równość zachodzi tylko wtedy, gdy: \(\displaystyle{ \alpha_{1}= \alpha_{2}= \alpha_{3}= \alpha_{4}=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
baza - dowód
Wiemy, że wektory \(\displaystyle{ (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})}\) są bazą. Tworzą w związku z tym układ liniowo niezależny. A zatem, powyższa równość będzie spełniona tylko wtedy, gdy "to co w nawiasach" będzie jednocześnie równe zero.