Grupy permutacji

[skolukmar]

Mam problem z zadaniem:

(a) Jaki jest największy możliwy rząd elementu w grupie \(\displaystyle{ S_7}\) ?

Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ 12}\) - byłaby to permutacja cykli długości \(\displaystyle{ 4 \text{ i }3}\), ale nie umie tego uzasadnić i pokazać, że każda inna permutacja ma mniejszy rząd.

(b) Jeśli przez \(\displaystyle{ r(n)}\) oznaczymy liczbę elementów rzędu \(\displaystyle{ n}\) w grupie permutacji to \(\displaystyle{ S_4}\) to czy jest jakiś ogólny wzór na \(\displaystyle{ r(n)}\) ?

Proszę o wskazówki. Z góry dzięki

[marcinz]

A wiesz jak policzyć rząd permutacji zapisanej za pomocą cykli? Wtedy wystarczy rozważyć jak liczbę \(\displaystyle{ 7}\) można zapisać jako sumę liczbę naturalnych i policzyć wszystkie możliwe rzędy. W (b) trzeba się zastanowić ile jest permutacji, która jest zapisana jako złożenie określonej liczby cykli.