Układ równań z wartością bezwzględną

[Johny94]

\(\displaystyle{ \begin{cases}|x+y|=1\\|x|+|y|=1\end{cases}}\)

Początkowo zrobiłem tak, że miałem 4 przypadki wyszły mi 4 wyniki, ale przecież jest ich nieskonczenie wiele, np. \(\displaystyle{ x=0.999,\ y= 0.001}\) albo \(\displaystyle{ x=0.5,\ y=0.5}\)
Mógłby ktoś to rozwiązać i jakoś ładnie zapisać co wyszło.

[Chromosom]

rzeczywiście istnieje nieskończenie wiele rozwiązań; pokaż swoje obliczenia

[Johny94]

Dałem \(\displaystyle{ 4}\) przypadki:

\(\displaystyle{ x+y > 0,\ x>0,\ y<0}\)- z tego mi wyszło \(\displaystyle{ x=1, \ y=0}\)

\(\displaystyle{ x+y>0,\ x<0,\ y>0}\)- z tego mi wyszło \(\displaystyle{ x=0,\ y=1}\)

\(\displaystyle{ x+y<0,\ x>0,\ y<0}\)- z tego mi wyszło \(\displaystyle{ x=0,\ y=-1}\)

\(\displaystyle{ x+y<0,\ x<0,\ y>0}\)- z tego mi wyszło \(\displaystyle{ x=-1,\ y=0}\)

Wiem, że to jest nie jest dobrze do końca, ale nie wiem, jak to zrobić

[kamil13151]

Przypadek 1: \(\displaystyle{ x,y \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=1 \\ x+y=1 \end{cases}}\)
Te równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań typu \(\displaystyle{ (x;1-x)}\) gdzie \(\displaystyle{ x \in [0;1]}\)

Teraz rozwiąż przypadki
\(\displaystyle{ 2) \ x,y<0\\
3) \ x \ge 0 \wedge y<0\\
4) \ x<0 \wedge y \ge 0}\)

w 3 i 4 przypadku oczywiście dojdą Ci jeszcze pewne warunki.

[aalmond]

Pierwsze równanie:

\(\displaystyle{ |x+y|=1 \\
x+y = 1 \ \ \ dla \ \ \ x+y \ge 0 \\
x+y = -1 \ \ \ dla \ \ \ x+y<0}\)

[Johny94]

2. \(\displaystyle{ x,y<0}\)
Te rownanie ma nieskonczenie wiele rozwiazan typu \(\displaystyle{ (x;1+x)}\) gdzie \(\displaystyle{ x \in [-1;0]}\) A w tym trzecim i czwartym przypadku to chyba bedzie tak jak ja napisalem w trzecim poscie i kazdy z tych przypadkow rozdzieli sie na 2, czyli bedzie ich 4, czy dobrze wszystko mysle?

[kamil13151]

2) Będą postaci \(\displaystyle{ (x;-1-x)}\) gdzie \(\displaystyle{ x \in (-1;0)}\).

Co do 3 i 4 dobrze myślisz.

[Johny94]

No faktycznie, dzięki za pomoc, zamykam temat.

[bakala12]

Graficznie też chyba łatwo by poszło