Równanie różniczkowe II rzędu (Krysicki 12.2)

[milymumin]

Witam. Z góry proszę o wyrozumiałość z racji na autentyczny spadek sprawności psychicznej.

Należy rozwiązać równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ y''=1-y'^{2}}\)

Zaciąłem się w miejscu na:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left[\ln(1+p)-\ln(1-p)\right]=x+C}\)

Proszę o wskazówkę, bo sam się motam :/

[Rogal]

Skorzystaj ze wzoru na różnicę logarytmów.

[milymumin]

ok, czy przed podstawieniem y' otrzymujemy coś takiego?

\(\displaystyle{ p= \frac{ C_{1}e ^{2x}-1 }{C_{1}e ^{2x}+1}}\)

I jeśli tak, to znowu nie wiem co dalej

[Justka]

tak.

teraz \(\displaystyle{ y'= \frac{C_1 e^{2x}-1 }{C_1 e^{2x} +1}}\), więc

\(\displaystyle{ y=\int \frac{C_1 e^{2x}-1 }{C_1 e^{2x} +1} dx}\), a po drodze przyda się podstawienie \(\displaystyle{ t=C_1 e^{2x}}\)