ostrosłupy, bryły obrotowe, kilka zadań

[TheOldSatan]

1. Podstawa ostrosłupa jest prostokąt, którego boki maja długość \(\displaystyle{ 6 \ i \ 8cm}\).
wszystkie krawędzie boczne są równe i maja\(\displaystyle{ 7 cm}\) długości. oblicz pole
powierzchni i objętość tego ostrosłupa

2. w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawedz podstawy ma \(\displaystyle{ 6cm}\), a wysokość
\(\displaystyle{ 5 cm}\). oblicz pole powierzchni i objętość tego ostrosłupa

3. W ostrosłupie prawidlowym trójkątnym ściany boczne sa nachylone do
podstawy pod katem \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\). wysokość ścian bocznych ma długość \(\displaystyle{ 4cm}\). oblicz pole powierzchni i objętość tego ostrosłupa.

4. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ściany boczne sa nachylone do podstawy pod katem\(\displaystyle{ 60^{\circ}}\). wysokość ścian bocznych ma długość \(\displaystyle{ 4cm}\). oblicz pole powierzchni i objętość tego ostrosłupa.

5. Oblicz pole podstawy, powierzchni bocznej, powierzchni całkowitej i objętości czworościanu foremnego, którego krawędź ma długość \(\displaystyle{ 2cm}\)

6. Oblicz wysokość czworościanu foremnego, które ma długość \(\displaystyle{ a}\)

7. podstawa ostrosłupa jest trojkat prostokątny, którego przyprostokątne maja długość \(\displaystyle{ 2 \ i \ 4 cm}\). z wierzchołka kąta prostego tego trójkąta wychodzi pod katem prostym krawędź boczna ostroslupa o długości \(\displaystyle{ 6cm}\). oblicz pole i objętość

8. oblicz pole i objętość stożka, którego wysokość ma długość \(\displaystyle{ 4}\), a średnica podstawy \(\displaystyle{ 6cm}\)

9. dane sa dwie bryły: stozek w którym długość promienia podstawy jest równa 3dm i wysokość ma długość \(\displaystyle{ \frac{18}{\pi} dm}\) oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny w którym krawędź podstawy ma długość \(\displaystyle{ 4\sqrt{3} dm}\) . Wiedząc, ze objętości tych brył sa równe, wyznacz kat nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy

10. oblicz pole powierzchni i objętość walca, którego promień podstawy ma \(\displaystyle{ 2cm}\), a wysokość \(\displaystyle{ 5cm}\)

11. przekątna przekroju osiowego ma długość \(\displaystyle{ 12cm}\) i tworzy z podstawa walca kat\(\displaystyle{ 60^{\circ}}\). oblicz pole powierzchni i objętość walca



Błagam o rozwiązanie tych zadań. Od tego zależy czy skończę szkołę czy będę kiblować.

Bardzo bym prosił o jak najszybsze rozwiązanie gdyż w poniedziałek mam poprawkę.

[miodzio1988]

Wszystko sprowadza się do podstawowych wzorów. Jakich? Jakie te wzory nam są potrzebne w każdym zadaniu?

[wiskitki]

Np w zad 1 do obliczenia objętości będzie ci potrzebna wysokość, którą obliczysz z tw Pitagorasa (połowa przekątnej podstawy, wysokość i krawędź boczną tworzą trójkat prostokątny). Krawędź boczną masz podana w zadaniu

[Lbubsazob]

Zad. 2
Znasz wysokość i musisz obliczyć długość krawędzi bocznej oraz wysokości ściany bocznej. Zauważ, że wysokość ostrosłupa dzieli wysokość podstawy w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\) licząc od wierzchołka, w dodatku wysokość podstawy ma długość \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt3}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest bokiem podstawy. Krawędź boczną obliczysz z Twierdzenia Pitagorasa, bo wysokość ostrosłupa jest znana, a druga przyprostokątna to właśnie \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) wysokości podstawy. Następnie znając krawędź boczną, jesteś w stanie znaleźć długość wysokości ściany bocznej.

Zad. 3
Tym razem masz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy, w tym wypadku jest on między \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości podstawy a wysokością ściany bocznej. Jeżeli ma on miarę \(\displaystyle{ 60^\circ}\), to korzystasz tutaj z zależności w trójkącie równobocznym - wysokość ściany bocznej ma długość \(\displaystyle{ 4}\), w takim razie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości podstawy ma długość \(\displaystyle{ 2}\), a wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ \frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3}\) itd.

Zad. 4 jest takie samo jak zad. 3

Zad. 5
Zauważ, że czworościan foremny składa się z 4 trójkątów równobocznych, więc powierzchnia tego jest powierzchnią 4 trójkątów równobocznych o boku \(\displaystyle{ 2}\). Na objętość czworościanu jest wzór: \(\displaystyle{ V=a^3 \frac{\sqrt2}{12}}\).

Zad. 6
Potraktuj to jak zwykły ostrosłup trójkątny, znasz długość podstawy \(\displaystyle{ a}\), wysokość podstawy \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt3}{2}}\) i krawędź boczna również ma długość \(\displaystyle{ a}\). Ponieważ wysokość bryły, \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) wysokości podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny (patrz zad. 2), to szukaną wysokość bryły bez problemu obliczysz z Pitagorasa.

Mam nadzieję że dasz sobie radę z tymi zadaniami, dalsze podpowiedzi dopiszę wieczorem.

[TheOldSatan]

wielkie dzieki. jakos daje rade. moglbys w dalszych zadaniach mnie nakierowac?

[miodzio1988]

10. oblicz pole powierzchni i objętość walca, którego promień podstawy ma \(\displaystyle{ 2cm}\), a wysokość \(\displaystyle{ 5cm}\)

do wzorów wystarczy wstawić...

[aalmond]

ad. 7

z wierzchołka kąta prostego tego trójkąta wychodzi pod katem prostym krawędź boczna ostroslupa

ta krawędź, to wysokość ostrosłupa
ściany boczne to trójkąty (w tym dwa prostokątne)

ad. 8
Podstawowe wzory

[Lbubsazob]

Zad. 7
Krawędź wychodząca z wierzchołka podstawy pod kątem prostym będzie jego wysokością - więc musisz obliczyć tylko pole podstawy i podstawić do wzoru na objętość.

Zad. 8
Średnica podstawy ma \(\displaystyle{ 6}\), czyli promień ma \(\displaystyle{ 3}\). Z Pitagorasa oblicz krawędź boczną, a potem to już tylko podstaw do wzorów.

Zad. 9
Najpierw oblicz objętość stożka, a potem ułóż odpowiednie równanie, aby obliczyć wysokość ostrosłupa. Jak będziesz znał wysokość bryły, to z Pitagorasa obliczysz wysokość podstawy, a kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy jest właśnie między połową podstawy, a wysokością ściany bocznej.

Zad. 11
Tu znowu korzystasz z zależności w trójkącie równobocznym, przekątna przekroju osiowego jest nachylona pod kątem \(\displaystyle{ 60^\circ}\), czyli średnica podstawy ma \(\displaystyle{ 6}\), a wysokość walca \(\displaystyle{ 6\sqrt3}\). Znając te dane, obliczysz pole i objętość.

[TheOldSatan]

lbubsazob dziekuje ci. moge ci jutro wyslac rozwiazania do sprawdzenia czy dobrze? odp na PW