prawdopodobieństwo iloczynu trzech zdarzeń

[BlueSky]

Zdarzenia losowe \(\displaystyle{ A, B, C}\) spełniają warunki:
\(\displaystyle{ P(A)=P(B)=P(C)= \frac{1}{2} \\
P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)= \frac{1}{6}}\)
Wyznaczyć \(\displaystyle{ P(A\cap B\cap C)}\)

Zastanawiam się, czy tutaj trzeba jakoś obliczyć \(\displaystyle{ P(A\cup B\cup C)}\) (bo wtedy iloczyn tych zdarzeń byłby już łatwy do znalezienia), a jeżeli tak, to jak? Czy jest może jakaś inna metoda? Np. z prawdopodobieństwa warunkowego?

[sushi]

najlepiej zrobic rysunek --> 3 przecinajace sie koła; dostaniesz 7 czesci; suma wszystkich musi dac 1

(tak samo sie robi dla dwoch \(\displaystyle{ P(A \cup B)= P(A)+P(B) - P(A \cap B)}\))-- 18 sierpnia 2011, 22:24 --drugim sposobem, na poprawienie wyobraźni to jest stworzenie takich zbiorow A,B,C z liczb oczek na kostce

np
\(\displaystyle{ A=\{1,2,3\}}\)

\(\displaystyle{ B=\{3,4,5\}}\)

\(\displaystyle{ C=\{1,4,6\}}\)

Pytanie: Czy mozna zrobic aby jedna i ta sama liczba powtarzała sie we wszystkich 3 zbiorach ??

[BlueSky]

Hm... Pierwszym sposobem wyszło mi, że \(\displaystyle{ P(A\cap B\cap C)=0}\). Dobrze?

[piasek101]

najlepiej zrobic rysunek --> 3 przecinajace sie koła; dostaniesz 7 czesci; suma wszystkich musi dac 1

Nie łapię skąd ,,dać 1" ?

[sushi]

jezeli drugim sposobem tez wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\) to znaczy ze oba sa dobre

mam nadzieje ze dobrze rozpisalas wzor \(\displaystyle{ 1=\cdots - 2 \cdot P(A \cap B \cap C)}\)
wynik poprawny-- 18 sierpnia 2011, 22:56 --

najlepiej zrobic rysunek --> 3 przecinajace sie koła; dostaniesz 7 czesci; suma wszystkich musi dac 1

Nie łapię skąd ,,dać 1" ?

mialem na mysli suma prawdopodobienstw wszystkich 7 kawałkow da 1

[piasek101]

Chodziło mi o to (fakt - przyczepiłem się), że nie możemy zakładać iż wyjdzie \(\displaystyle{ 1}\) (a tak to odczytałem z Twoich słów).

Po prostu mamy :

\(\displaystyle{ P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)}\)

ponieważ pierwsze i ostatnie ma należeć do przedziału \(\displaystyle{ [0; 1]}\) to spełnią to tylko \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 0}\).