Równanie z 2 różniczkami

[nkwd]

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }= \frac{y}{3 y^{4}+x }}\)

[miodzio1988]

Jaki typ równania? Podpowiem, że na literkę \(\displaystyle{ z}\)

[nkwd]

Zwyczajne?

[miodzio1988]

Zupełne. Pokaż czy rzeczywiście jest zupełne czy Miodek za dużo piwa wypił

[nkwd]

Pierwszy raz spotykam się z równanie zupełnym. Z tego co znalazłem w necie to mam porównać 2 cząstkowe pochodne \(\displaystyle{ P(x,y)}\), \(\displaystyle{ Q(x,y)}\) ale z tego równania to nie wiem nawet jak te 2 pochodne mają wyglądać.

[miodzio1988]

A \(\displaystyle{ P, Q}\) jak wyglądają Twoim zdaniem?

[nkwd]

Nie wiem właśnie jak wyglądają. Staram się brać jakiś schemat z 16633.htm
ale w tamtym przykładzie to od razu widać co jest P a co Q. Czy ten mój ułamek trzeba rozbić i wtedy uzyskam P i Q?

[miodzio1988]

... pe%C5%82ne

do odpowiedniej postaci proszę równanie sprowadzić i zobaczyć czy jest zupełne.

[nkwd]

\(\displaystyle{ \left( 3y^{4}+x \right) \mbox{d}y=y \mbox{d}x \\
\frac{\partial F}{\partial y}= 3y^{4}+x \\
\frac{\partial F}{\partial x}= y \\
F \left( x,y \right) = \int 3y^{4}+x \mbox{d}y=3 \frac{y^{5}}{5}+xy +C}\)
Nie są równe. Czyli równanie nie jest zupełne.
Pewnie wszystko źle.

[miodzio1988]

Wszystko do bani- to prawda.

Proponuję nauczyć się rozpoznawać równania różniczkowe. Tzn jakby nie wyszło zupełne to pomysł da się uratować , ale to trzeba umieć rozpoznawać równania najpierw

[Mariusz M]

Jest to równanie liniowe
(do zupełnego można sprowadzić ale nie jest to konieczne)

\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{y}{3y^4+x}\\
\left(3y^4+x\right)\mbox{d}y=y\mbox{d}x\\
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}=\frac{3y^4+x}{y}\\
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}-\frac{x}{y}=3y^3\\
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}-\frac{x}{y}=0\\
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}=\frac{x}{y}\\
\frac{\mbox{d}x}{x}=\frac{\mbox{d}y}{y}\\
\ln{|x|}=\ln{|y|}+C\\
x=Cy\\
x\left(y\right)=C\left(y\right)y\\
C^{\prime}\left(y\right)y+C\left(y\right)-C\left(y\right)=3y^3\\
C^{\prime}\left(y\right)y=3y^3\\
C^{\prime}\left(y\right)=3y^2\\
C\left(y\right)=y^3+C\\
x=y^4+Cy}\)

Jeżeli potrzebna jest funkcja zależna od x
to można rozwiązać równanie czwartego stopnia

\(\displaystyle{ y^4+Cy-x=0}\)

Lewą stronę tego równania można rozłożyć na czynniki kwadratowe
(Jakiś czas temu Vax się tym bawił)