Indukcja, udowodnienie podzielności przez 2

[bajtek]

Kurcze, nie widzę tego. W jaki sposób przekształciłeś to z takiej postaci :

\(\displaystyle{ 4 \cdot 2 ^{2k+1} + 3k + 10}\)

na taką?

\(\displaystyle{ 4(2 ^{2k+1} + 3k + 7) -}\)

Co zrobiłeś z tym wyrażeniem?

[ares41]

To jeszcze nie koniec przekształcenia. Poza nawiasem jest minus, zatem od całości trzeba coś odjąć, żeby to wyrażenie było równe wyjściowemu. Teraz pytanie do Ciebie: Co należy odjąć?

[bajtek]

Ok, no więc chyba tak:

1) \(\displaystyle{ 4 \cdot 2 ^{2k+1} + 3k + 10 = 4 \cdot 2 ^{2k+1} + 3k + 7 + 3}\) | stan wyjściowy
2) \(\displaystyle{ 4 \cdot 2 ^{2k+1} + 4 \cdot 3k + 4 \cdot 7 + 3}\) | mnożę potrzebne mi wyrażenia przez \(\displaystyle{ 4}\)
3) \(\displaystyle{ 4 \cdot (2 ^{2k+1} + 3k + 7)+ 3}\) | wrzucam je pod nawias
4) \(\displaystyle{ 4 \cdot (2 ^{2k+1} + 3k + 7)+ 3 - 3 \cdot 3k - 3 \cdot 7}\) | teraz muszę odjąć \(\displaystyle{ 3 \cdot 3k + 3 \cdot 7}\) żeby wyrażenie miało swój pierwotny sens
5) \(\displaystyle{ 4 \cdot (2 ^{2k+1} + 3k + 7) - 9k - 18}\) | i wychodzi mi coś takiego...
6) \(\displaystyle{ 4 \cdot 9a - 9k - 18}\) | człon: \(\displaystyle{ -9k - 18}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 9}\). \(\displaystyle{ 9a}\) jest podzielne z założenia.

Dobrze? To koniec?

[ares41]

Tak. Teraz tylko dorzuć jakieś zdanie podsumowujące, w stylu: "Każdy ze składników sumy jest podzielny przez \(\displaystyle{ 9}\), więc..... . Zatem na podstawie zasady indukcji ......" i to by kończyło rozwiązanie.

[bajtek]

OK, chyba już łapię.

To jeszcze ostatni, mam nadzieję, przykład:

\(\displaystyle{ 5 ^{n}-4n-1}\), podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\).

1) \(\displaystyle{ 5 ^{n}-4n-1}\), dla \(\displaystyle{ n=1}\)

\(\displaystyle{ 5 ^{1}-4-1 = 5- 5 = 0}\)
A więc jest podzielne.

2) założenie:
\(\displaystyle{ 5 ^{n}-4n-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\) dla \(\displaystyle{ n=k}\)

\(\displaystyle{ \frac{(5 ^{k}-4k-1)}{4} = a}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in N}\)
\(\displaystyle{ (5 ^{k}-4k-1) = 4a}\)

3) teza:
\(\displaystyle{ 5 ^{n}-4n-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\) dla \(\displaystyle{ n=k+1}\)
\(\displaystyle{ (5 ^{k+1}-4(k+1)-1) = 4b}\), gdzie \(\displaystyle{ b \in N}\)

4) dowód:
\(\displaystyle{ (5 ^{k+1}-4(k+1)-1) = (5 ^{k} \cdot 5 - 4k - 4 -1) = 5(5 ^{k} - 4k - 1) - 4 +4 \cdot 4k +4 \cdot 1 = 5(4a) - 4 + 16k + 4 = 5 \cdot 4a + 16k = 4(5a+4k)}\)

Ponieważ każdy składnik wyrażenia jest podzielny przez \(\displaystyle{ 4}\), to całe wyrażenie również jest podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\).

[bakala12]

To na końcu jest chyba niepotrzebne. Ja dopisałbym coś w stylu "stąd wynika żądana podzielność"
A tak to wszystko jest ok

[bajtek]

Serio? Rany, więc w końcu to zrozumiałem. Tysiąckrotne dzięki wszystkim za pomoc