obliczenie granicy ciągu

[e1nzelstuck]

Proszę o rozwiązanie krok po kroku tego przykładu, ponieważ chciałabym zobaczyć gdzie robię błąd. Mnie wychodzi -3...
Oto przykład : \(\displaystyle{ \lim_{ \to } \left( \frac{3n+1}{2-n} \right)^3}\)

[Adifek]

Rozumiem, że n dąży do nieskończoności?
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}( \frac{3n+1}{2-n})^{3}}\)
W takiej formie mamy nieskończoność przez minus nieskończoność. Tak zostać nie może, więc usuwamy niewymierność z licznika - dzielimy licznik i mianownik przez n. Wychodzi:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} ( \frac{3+ \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} -1} )^{3}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty }( \frac{3}{-1} )^3=-27}\)

[e1nzelstuck]

tak, tak, n dąży do nieskończoności:)
W odpowiedziach wynik jest podany : + \(\displaystyle{ \infty}\)

[abc666]

Tak zostać nie może, więc usuwamy niewymierność z licznika - dzielimy licznik i mianownik przez n.

Jaką niewymierność?

tak, tak, n dąży do nieskończoności:)
W odpowiedziach wynik jest podany : + \(\displaystyle{ \infty}\)

To albo źle przepisałeś albo jest błąd w odpowiedziach

[Adifek]

Jaką niewymierność?

A taką, że mamy
\(\displaystyle{ \frac{+\infty}{-\infty}}\)
a z tego co mnie uczono, to raczej tal zostać nie może, bo to to symbol nieoznaczony. Żeby go się pozbyć, pozbywamy się z licznika nieskończoności, czyli niewymierności.

[abc666]

Niewymierność to mamy wtedy jak mamy liczbę niewymierną. A jak mamy być dokładni to nie możesz pozbywać się wyrazów po trochu z granicy tak jak to zrobiłeś.

[Adifek]

Wymierność to liczba, którą można zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Dopełnieniem wymierności do liczb rzeczywistych są niewymierności. Skoro wg Ciebie nieskończoność nie ejst liczbą niewymierną, to udowodnij, że jest wymierna

A jak mamy być dokładni to nie możesz pozbywać się wyrazów po trochu z granicy tak jak to zrobiłeś.

Moja nauczycielka uczyła mnie właśnie w ten sposób i jakoś każde zadanie mi wychodziło zgodnie z odpowiedziami. Skoro nie mogę to pytam: dlaczego?

[abc666]

Klasycznie
\(\displaystyle{ e= \lim_{n \to \infty } \left(1+ \frac{1}{n} \right)^n= \lim_{n \to \infty } \left(1+ 0 \right)^n= \lim_{n \to \infty } \left(1 \right)^n= 1}\)

Wymierność to liczba, którą można zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Dopełnieniem wymierności do liczb rzeczywistych są niewymierności. Skoro wg Ciebie nieskończoność nie ejst liczbą niewymierną, to udowodnij, że jest wymierna

Czyli kartofel zmieszany z marchewką to też jest niewymierność?

[Chromosom]

Zadanie dobrze jest rozwiązać poprzez przekształcenie wyrażenia do postaci
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{(3n+1)^3}{(2-n)^3}}\)
i czterokrotnie zastosować regułę L'Hospitala bądź wymnożyć wszystko i wyłączyć najwyższą potęgę n przed nawias.
Sposób liczenia granic stosowany przez adifek tutaj się sprawdza, gdyż prowadzi do tego samego wyniku, ale ogólnie nie można w ten sposób przekształcać granic (jak wytłumaczył abc666).

[Adifek]

No i wszystko już jasne
Aczkolwiek przykład z e przytoczony przez abc666 jest troszkę inny, bo całość jest potęgowana nie do 3, tylko do n, a to jak wiadomo dąży do nieskończoności
Pozdrawiam.