Granica ciągu

[witek010]

Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć podane granice:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{n+4}{n+3} \right) ^{5-2n}}\)

[ares41]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \frac{n+4}{n+3}=1+ \frac{1}{n+3}}\)

[witek010]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \frac{n+4}{n+3}=1+ \frac{1}{n+3}}\)

Do tego doszedłem. Wiem, że powinienem skorzystać ze wzoru: \(\displaystyle{ \left(1+ \frac{1}{n} \right) ^{n} = e}\)

Ale właśnie nie wiem jak to zrobić?

[ares41]

Raczej ze wzoru:
\(\displaystyle{ \lim_{f(n) \to \infty } \left(1+ \frac{1}{f(n)} \right)^{f(n)}=e}\)

[witek010]

Raczej ze wzoru:
\(\displaystyle{ \lim_{f(n) \to \infty } \left(1+ \frac{1}{f(n)} \right)^{f(n)}=e}\)

To nie zmienia faktu, że i tak nie wiem jak dalej to zrobić.

[ares41]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ 5-2n=(n+3) \cdot \frac{1}{n+3} \cdot (5-2n)}\)
Dalej już prosto.

[witek010]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ 5-2n=(n+3) \cdot \frac{1}{n+3} \cdot (5-2n)}\)
Dalej już prosto.

Dzięki! Właśnie nie wiedziałem jak to rozpisać.

-- 16 sierpnia 2011, 21:30 --

Aby nie zakładać nowego tematu napiszę w tym samym.
Polecenie takie samo. Przykład trudniejszy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left ( 1 +\frac{(-1) ^{n} }{n} \right) ^{(-1) ^{n}n }}\)

[abc666]

To \(\displaystyle{ -1}\) w wykładniku miało być w nawiasie?

[witek010]

To \(\displaystyle{ -1}\) w wykładniku miało być w nawiasie?

Tak w nawiasie. Już poprawione.

[ares41]

Wskazówka:
Wartość \(\displaystyle{ (-1)^n}\) zależy od tego, czy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste czy nie.

[witek010]

Wskazówka:
Wartość \(\displaystyle{ (-1)^n}\) zależy od tego, czy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste czy nie.

Też o tym myślałem, ale za bardzo dalej nie wiem jak ruszyć.
Czy trzeba rozpatrywać dwa przypadki:

1. dla \(\displaystyle{ n<0}\)

2. dla \(\displaystyle{ n>0}\)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) , więc jak chcesz brać \(\displaystyle{ n}\) ujemne? I jak liczba naturalna może być ujemna? Masakra

[witek010]

\(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) , więc jak chcesz brać \(\displaystyle{ n}\) ujemne? I jak liczba naturalna może być ujemna? Masakra

Racja, co prawda źle się wyraziłem. Chodziło mi o to czy muszę rozpatrywać oddzielnie dwa przypadki kiedy \(\displaystyle{ (-1)^{n}}\) jest dodatnie i drugi kiedy jest ujemne?

[miodzio1988]

Tak. Zrób tak