Całka szczególna równania niejednorodnego

[embrionek]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch równań różniczkowych. Potrafię tylko wyliczyć całkę ogólną równania jednorodnego (nawet nie wiem czy dobrze)
1.
\(\displaystyle{ y'' -2y'+y= \frac{e ^{x}}{x}+xe ^{x}}\)

2.
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} +y\tg x=\sin 2x}\)

Odp 1.
C.O.R.J.
\(\displaystyle{ y'' -2y'+y=0 \\
r ^{2} -2r+r=0 \\
\Delta=0\\
r _{1,2}=1 \\
więc y=(C _{1}x+C _{2}) \cdot e ^{x}}\)
i dalej nie potrafię

Mam nadzieje że ktoś mi pomoże bo poprawka już tuż tuż;)

[miodzio1988]

Pomożemy.,
Jakie znasz metody na rozwiązywanie równań niejednorodnych?

[embrionek]

znam takie metody jak: metoda uzmienniania stałej i metoda przewidywania

[miodzio1988]

Zastosuj pierwszą

[embrionek]

w przykładzie nr 2 zrobiłem coś takiego
\(\displaystyle{ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}+y\tg x=0 \setminus\frac{\text{d}x}{y} \\ \int \frac{\text{d}y}{y}= \int \tg x\,\text{d}x \\ \ln \left| y\right| =-\ln \left| \cos x\right|+c \\ \left| y\right| =-\cos x \cdot C _{1} \\ y=-C _{1}\cos x \\ C _{1} \neq 0}\)
uzmiennianie
\(\displaystyle{ y=-u\left(x\right) \cdot \cos x}\)
i dalej nie wiem jak robić jak w pierwszym tak jak i w tym ;/

[miodzio1988]

Też uzmienniaj stałą

[embrionek]

Naprowadź mnie jakoś bardziej albo rozwiąż część tego zadania

[Karoll_Fizyk]

Zapomniałeś o jednym "minusie" przy rozdzielaniu zmiennych, ale to szczegół...
Dalej wyciągnij pochodną z \(\displaystyle{ y}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{ \mbox{d} }{ \mbox{d}x } ( u(x)\cdot\cos x ) = \cos x \cdot u'(x) - u(x) \cdot \sin x}\)
Teraz trzeba ją wstawić do równania początkowego, będzie to wyglądało, tak:
\(\displaystyle{ \cos x \cdot u'(x) - \sin x \cdot u (x) + \cos x \cdot u(x) \cdot \tg x = \sin 2x}\)
Redukujesz co się da... i powinieneś otrzymać równanie:
\(\displaystyle{ \cos x \cdot u'(x) = \sin 2x}\)
Z tego wyprowadzasz równanie funkcji:
\(\displaystyle{ u(x) = - 2 \cos x}\)

Dalej myślę, że dasz sobie radę...

[embrionek]

dzięki Karoll_Fizyk. Obliczyłem dalej i wyszło mi ostatecznie:
\(\displaystyle{ \int u ^{'}(x)= \int -2 \cos x \\
u=-2 \sin x +C \\
y=-2 \sin x \cdot \cos x}\)
rozwiązanie
\(\displaystyle{ y=C _{1} \cos x -2 \sin x \cdot \cos x}\)

Prosze jeszcze o pomoc w rozwiązaniu zadania pierwszego metodą przewidywania najlepiej. Zacząłem je ale dalej nie rusze;/

[Karoll_Fizyk]

Masz może odpowiedzi do tych zadań? Jeśli tak, to zgadza się wynik 2 zadania?

[miodzio1988]

Karoll_Fizyk, wystarczy wstawić wynik do początkowego równania i sam to zobaczysz

[Karoll_Fizyk]

Jeżeli chodzi o zadania pierwsze, to tak:
1. Zaczynamy od równania jednorodnego: \(\displaystyle{ y'' - 2y' + y = 0}\)
równanie charakterystyczne: \(\displaystyle{ r ^{2} -2r = 0}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ \Delta = 4}\)
Do liczenia równań różniczkowych liniowych II rzędu są wzory, tak jak teraz zastosuję jeden z nich...
W naszym przypadku \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) , a zatem stosujemy odpowiedni wzór i otrzymujemy pierwsze rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y _{1} = C _{1} + C _{2} \cdot e ^{2x}}\)
Dalej musisz przewidywać... Wydaje mi się, że dobra będzie funkcja: \(\displaystyle{ y _{2} = e ^{dx} \left( ax + \frac{b}{x} + c \right)}\) , ale nie jestem pewien.
Potem wyciągasz pochodną pierwszego i drugiego rzędu z \(\displaystyle{ y _{2}}\), no i wstawiasz do: \(\displaystyle{ y'' -2y' + y = e ^{x} \left( \frac{1}{x} + x \right)}\)
Później redukujesz i układasz układy równań do wyznaczenia stałych i wsio...

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ y^{\prime\prime} -2y^{\prime}+y= \frac{e ^{x}}{x}+xe ^{x}\\
y^{\prime\prime} -2y^{\prime}+y=0\\
\lambda^2-2\lambda+1=0\\
\left( \lambda-1\right)=0\\
y=C_{1}e^{x}+C_{2}xe^{x}\\
\det{\begin{bmatrix} e^{x}&xe^{x} \\e^{x}&\left( x+1\right)e^{x} \end{bmatrix}}=\left( x+1\right)e^{2x}-xe^{2x}=e^{2x}\\
C_{1}^{\prime}\left( x\right)= \frac{1}{e^{2x}} \det{ \begin{bmatrix} 0&xe^{x} \\ \left( \frac{1}{x} +x\right)e^{x}&\left( x+1\right)e^{x} \end{bmatrix} }=-\left( 1+x^2\right)\\
C_{2}^{\prime}\left( x\right)= \frac{1}{e^{2x}} \det{ \begin{bmatrix} e^{x}&0 \\ e^{x}&\left( \frac{1}{x}+x\right)e^{x} \end{bmatrix} }=\left( \frac{1}{x}+x \right)\\
C_{1}=-x- \frac{x^3}{3}\\
C_{2}=\ln{\left| x\right| }+ \frac{x^{2}}{2}\\
\varphi\left( x\right)=-xe^{x}- \frac{x^3}{3}e^{x}+x\ln{\left| x\right| }e^{x}+ \frac{x^3}{2}e^{x}\\
y=\left( \frac{1}{6}x^{3}+x\ln{\left| x\right| } \right)e^{x}+C_{1}e^{x}+C_{2}xe^{x}}\)