Wykaż, że f(x) jest rosnąca

[quebec]

Wykaż, że \(\displaystyle{ f(x) = x^3 - x^2 + x}\) jest rosnąca. Bez pochodnych, niestety.
Czy można to zrobić z założenia, że \(\displaystyle{ f(x) > f(x-1)}\)? Dyskutujemy z kolegami jak to rozwiązać, i nie możemy się dogadać
Z góry dzięki!

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ x^3 - x^2 + x=x(x^2 - x + 1)}\)

I zadanie sprowadza się do poziomu liceum

[quebec]

A możesz podpowiedzieć co dalej z tym zrobić?

[miodzio1988]

Rysujesz oś OX, zaznaczasz miejsca zerowe tej funkcji i rysujesz "węża"

[quebec]

No dobrze, ale to jest po prostu narysowanie przebiegu funkcji. Nie ma jakiegoś mocniejszego dowodu?

[aalmond]

Zapisz tę funkcję jako sumę dwóch funkcji rosnących.

[miodzio1988]

No dobrze, ale to jest po prostu narysowanie przebiegu funkcji. Nie ma jakiegoś mocniejszego dowodu?

A dlaczego to nie jest mocny dowód? Jest tak samo poprawny jak dowód z definicji

[Erurikku]

Można tak?
\(\displaystyle{ f(x+1) > f(x)}\)
wstawiamy, na końcu wyjdzie chyba
\(\displaystyle{ x^{2} > - \frac{1}{3} \Rightarrow x \in R}\) Czyli funkcja jest rosnąca.

[miodzio1988]

Mój super sposób okazał się jednak błędnym myśleniem. Miki pokazał mi przykład dla którego to nie działa. Przepraszam za wprowadzenie w błąd i biję się po piersi. Plusik dla Mikiego.

[Lorek]

Można tak?
\(\displaystyle{ f(x+1) > f(x)}\)

To nie jest przecież definicja funkcji rosnącej i łatwo znaleźć kontrprzykład.

[aalmond]

\(\displaystyle{ f(x) = x^3 - x^2 + x = \left ( x - \frac{1}{3} \right ) ^{3} + \frac{2}{3} \cdot x+ \frac{1}{27}}\)

Suma funkcji rosnących jest funkcją rosnącą.

[Rogal]

A definicja nie działa?

[miki999]

Może i działa, ale kto by się tym przejmował.