Oblicz wartość. Sinus pod logarytmem.

[Marcinek665]

Witam.

W moim zadaniu więcej jest chyba trygonometrii, więc mam nadzieję, że dział wybrałem poprawnie. Zadanie brzmi tak:

Oblicz \(\displaystyle{ \log_2{\sin 54^{\circ}}+2\log_4{\sin 18^{\circ}}}\).

Oczywiście łatwo dojść do wartości \(\displaystyle{ \sin 18^{\circ}}\) i rozwiązać to 'tak jak zawsze w szkole', ale ciekaw jestem, czy jest jakieś fajniejsze i mniej mechaniczne rozwiązanie.

Pozdrawiam.

[Karoll_Fizyk]

Byłem w stanie dojść jedynie do takiej postaci, może Ci to pomoże:
\(\displaystyle{ \log_2{\sin 54^{\circ}}+2\log_4{\sin 18^{\circ}} = \log_2 ({\sin 54^{\circ} \cdot \sin ^{4} 18^{\circ} })}\)
Przepraszam, że tak słabo... Pozdrawiam!

[Vax]

Zauważ, że:

\(\displaystyle{ \log_2 \sin54^{\circ} + 2\log_4 \sin 18^{\circ} = \log_2 \sin54^{\circ}+\log_2 \sin18^{\circ} = \log_2 (\sin18^{\circ}\cos36^{\circ}) (*)}\)

I teraz:

\(\displaystyle{ \sin18^{\circ}\cos36^{\circ} = \frac{2\cos18^{\circ}\sin18^{\circ}\cos36^{\circ}}{2\cos18^{\circ}} = \frac{\sin36^{\circ}\cos36^{\circ}}{2\cos18^{\circ}} = \frac{2\sin36^{\circ}\cos36^{\circ}}{4\cos18^{\circ}} = \frac{\sin72^{\circ}}{4\cos18^{\circ}} = \frac{\cos18^{\circ}}{4\cos18^{\circ}} = \frac{1}{4}}\)

Stąd \(\displaystyle{ (*) = -2}\)