Witam,
chciałbym prosić o pomoc w odnalezieniu dowodu poniższej tożsamości - może ktoś spotkał w jakiej literaturze, bądź materiałach elektronicznych.
\(\displaystyle{ \frac{z^n-1}{z-1}=\prod_{k=1}^{n-1}\left( z-\cos \frac{2k\pi}{n} - i \sin \frac{2k\pi}{n}\right)}\)
Jeśli ktoś jest w stanie sam udowodnić oczywiście też może być.
Dodam, że trzy tomy Fichtenholz'a,
"Funkcje zespolone" i "Rachunek roż..." Leji przejrzane.
Niestety bez powodzenia, stąd prośba o pomoc.
poszukiwany dowód tozsamości
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 8 lut 2011, o 18:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 4 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 14 razy
poszukiwany dowód tozsamości
Pomnóż obie strony przez \(\displaystyle{ (z-1)}\) i zauważ, że po prawej masz wielomian \(\displaystyle{ z^n-1}\), a po prawej jego rozkład na pierwiastki, czyli iloczyn po \(\displaystyle{ (z-z_i)}\), gdzie \(\displaystyle{ z_i}\) przebiega kolejne n-te pierwiastki z jedności (zapisane w postaci trygonometrycznej).
(To jest tylko przypadek twierdzenia Bezout).
(To jest tylko przypadek twierdzenia Bezout).
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 8 lut 2011, o 18:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 4 razy
poszukiwany dowód tozsamości
Czyli wychodząc odPiotr Pstragowski pisze:po lewej masz wielomian \(\displaystyle{ z^n-1}\), a po prawej jego rozkład na pierwiastki
\(\displaystyle{ z^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left( z-\cos \frac{2k\pi}{n} - i \sin \frac{2k\pi}{n}\right),}\)
mamy
\(\displaystyle{ z^n-1=(z-1)\prod_{k=1}^{n-1}\left( z-\cos \frac{2k\pi}{n} - i \sin \frac{2k\pi}{n}\right),\\
\frac{z^n-1}{z-1}=\prod_{k=1}^{n-1}\left( z-\cos \frac{2k\pi}{n} - i \sin \frac{2k\pi}{n}\right).}\)
Zgadza się?
-
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 14 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 8 lut 2011, o 18:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 4 razy