Jak obliczyć wielomian interpolacyjny? Przykład

[mooner]

Witam.
Jak obliczyć wielomian interpolacyjny?
Dane są takie:
(nie wiem jak się robi tabelkę więc sorki)
Teraz już wiesz.

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $x$&1&4&9 \\ \hline $y$&1&2&3 \\ \hline \end{tabular} \\ a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^2 = y}\)

Za pomoc stokrotne dzięki.

[miodzio1988]

wielomian interpolacyjny

wpisać w google i masz dane wzory.

[fon_nojman]

Możesz rozwiązać układ równań albo od razu skorzystać ze wzoru na wielomian Lagrange'a.

[mooner]

A moglibyście rozwiązać i wrzucić rozwiązanie?
No ja właśnie w notatkach mam stworzoną z tego równanie macierzowe.
i jakoś dziwnie to jest zrobione, nie umiem zrobić przekształcenia tej macierzy, mianowicie to wygląda tak:
\(\displaystyle{ egin{pmatrix}1 & 1 & 1cr 1 & 4 & 16cr 1 & 9 & 81end{pmatrix} imes egin{pmatrix}a_{0}cr a_{1}cr a_{2}end{pmatrix}=[egin{pmatrix}1cr 2cr 3end{pmatrix}}\)

i z tego zostało zrobione coś takiego
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1 \\ 1&4&16&2 \\ 1&9&81&3 \end{array}\right]}\)
i to wyzej jest przekształcane wzgledem siebie (jak w przeksztalceniu metodą gaussa przy liczeniu odwrotnosci)

i nie wiem jaka w ogole ma powstać postać po przekształceniu.

Pozdro!

[miodzio1988]

A moglibyście rozwiązać i wrzucić rozwiązanie?

Oczywiście, że nie. Do wzorów wstawiać nie umiesz?

[mooner]

Do wzoru pewnie umiem, zajrze jutro do niego.
Ale powiedzcie jak trzeba przeksztacić ta macierz (zapewne jest to drugi sposob) Probowalem innym sposobem, normalnie metoda gaussa i odwrotnosc tej pierwszej macierzy, ale w notatkach mam inny sposob wlasnie ten o ktorym napisalem w poscie wyzej.
Pozdro!

[miodzio1988]

Żadnego przekształcenia tutaj nie ma. Zwykły Gauss

[mooner]

Czyli musze przeksztalcic tak, żeby po lewej stronie była macierz jedynkowa a po prawej bedzie wynik(tam gdzie na poczatku jest 1 2 i 3)?

[miodzio1988]

zgadza się

[mooner]

a to nie powinno wygladac tak, ze najpierw przeksztalcam macierz z lewej strony ale przez jedynkową czyli
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1&1&1&1&0&0 \\ 1&4&16&0&1&0 \\ 1&9&81&0&0&1 \end{array}\right]}\)
a pożniej mnoże wynik normalnie przez macierz 1, 2, 3 czyli
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}\text{macierz odwrotna}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\cr2\cr 3\end{pmatrix}}\)
czy to może bez różnicy?

[miodzio1988]

Bez różnicy

[bambolina]

może temat był już trochę temu, ale może się przydać

W programie Maple do metod obliczeniowych jest taka komenda, która wylicza wielomian, gdy dane mamy punkty przez które on przechodzi.

Jest to rozwiązanie dla leniwych. Bo jeśli ktoś chce rzeczywiście zrozumieć ideę, to nic tutaj nie wskóra.

Ale dla tych, którym zależy na czasie, ta komenda to interp(X,Y,x) i dla zadanych punktów jej implementacja wyglądałaby nastepująco:

X:=[1,4,9]:
Y:=[1,2,3]: //wprowadzone zostały współrzędne zadanych punktów
w:=interp(X,Y,x); // a ta jedna linijka wyświetli nam gotowy wielomian, i już.

X,Y - oznaczają odpowiednie współrzędne punktów, natomiast x jest zmienną ze względu na którą ma być rozwiązane zagadnienie

tyle.