bezwględność w nierówności kwadratowej
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 13 sie 2011, o 22:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chrzanów
- Podziękował: 1 raz
bezwględność w nierówności kwadratowej
Nie bardzo daje radę z trudniejszymi zadaniami z modułami, a konkretnie nie mogę sobie poradzić z tym zadaniem:
bardzo bym prosił o rozwiązanie z opisem bo nie wiem gdzie popełniam błędy
\(\displaystyle{ \frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \le 1}\)
bardzo bym prosił o rozwiązanie z opisem bo nie wiem gdzie popełniam błędy
\(\displaystyle{ \frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \le 1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
bezwględność w nierówności kwadratowej
Dziedzina. \(\displaystyle{ x \in R \setminus \left\{ -1; 1\right\}}\)
Obustronnie przez kwadrat mianownika:
\(\displaystyle{ |x^2-4x+3|(x^2-1) \le 1}\)
Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 \ge 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x in (- infty; 1] vee [3;+ infty )}\)
\(\displaystyle{ (x^2-4x+3)(x^2-1) \le 1}\)
Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 < 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)
\(\displaystyle{ (x^2-4x+3)(x^2-1) \ge -1}\)
Teraz rozwiąż.
Obustronnie przez kwadrat mianownika:
\(\displaystyle{ |x^2-4x+3|(x^2-1) \le 1}\)
Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 \ge 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x in (- infty; 1] vee [3;+ infty )}\)
\(\displaystyle{ (x^2-4x+3)(x^2-1) \le 1}\)
Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 < 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)
\(\displaystyle{ (x^2-4x+3)(x^2-1) \ge -1}\)
Teraz rozwiąż.
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
bezwględność w nierówności kwadratowej
Czyżby? Uważasz, że wyrażenie \(\displaystyle{ x^2-1}\) jest zawsze dodatnie? Poza tym co uważasz za kwadrat mianownika?kamil13151 pisze:Obustronnie przez kwadrat mianownika:
\(\displaystyle{ |x^2-4x+3|(x^2-1) \le 1}\)
henryy1991, jak napiszesz swoje rozwiązanie, to będzie można sprawdzić, gdzie popełniasz błędy (kamil13151 napisał i od razu widać błąd...).
JK
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
bezwględność w nierówności kwadratowej
Wskazówka:
\(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem wielomianu pod modułem i wielomianu w mianowniku.
\(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem wielomianu pod modułem i wielomianu w mianowniku.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
bezwględność w nierówności kwadratowej
Ojej, co za bzdury ja napisałem, to chyba przez późną porę, wybaczcie Nie wiem czemu, ale przyjąłem że po prawej stronie mamy zero, skąd taki pomysł to pojęcia nie mam
Za to zamieszczam pełne rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \le 1}\)
Dziedzina. \(\displaystyle{ x \in R \setminus \left\{ -1; 1\right\}}\)
1) Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 \ge 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x in (- infty; 1] vee [3;+ infty )}\), pamiętamy również dziedzinę.
\(\displaystyle{ \frac{x^2-4x+3}{x^2-1} \le 1\\\\
\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x+1)} \le 1\\\\
\frac{x-3}{x+1} \le 1\\\\
\frac{x-3}{x+1}- \frac{x+1}{x+1}\le 0\\\\
\frac{-4}{x+1}\le 0\\\\
-4(x+1)\le 0\\\\
x+1 \ge 0\\\\
x \ge -1}\)
Zgodnie z przedziałem i dziedziną rozwiązaniem jest: \(\displaystyle{ x in (-1;1) vee [3;+ infty )}\)
2) Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 < 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)
\(\displaystyle{ \frac{-(x^2-4x+3)}{x^2-1} \le 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^2-4x+3}{x^2-1} \ge -1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^2-4x+3}{x^2-1} \ge -1}\)
\(\displaystyle{ \frac{2x-2}{x+1} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1) \ge 0}\)
Stąd \(\displaystyle{ x in (- infty;-1 ] vee [1;+ infty )}\), co filtrujemy z przedziałem i dziedziną, więc \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)
Tak więc rozwiązaniem ostatecznym jest: \(\displaystyle{ x in (-1;1) vee [3;+ infty )}\)
Za to zamieszczam pełne rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \le 1}\)
Dziedzina. \(\displaystyle{ x \in R \setminus \left\{ -1; 1\right\}}\)
1) Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 \ge 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x in (- infty; 1] vee [3;+ infty )}\), pamiętamy również dziedzinę.
\(\displaystyle{ \frac{x^2-4x+3}{x^2-1} \le 1\\\\
\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x+1)} \le 1\\\\
\frac{x-3}{x+1} \le 1\\\\
\frac{x-3}{x+1}- \frac{x+1}{x+1}\le 0\\\\
\frac{-4}{x+1}\le 0\\\\
-4(x+1)\le 0\\\\
x+1 \ge 0\\\\
x \ge -1}\)
Zgodnie z przedziałem i dziedziną rozwiązaniem jest: \(\displaystyle{ x in (-1;1) vee [3;+ infty )}\)
2) Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 < 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)
\(\displaystyle{ \frac{-(x^2-4x+3)}{x^2-1} \le 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^2-4x+3}{x^2-1} \ge -1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^2-4x+3}{x^2-1} \ge -1}\)
\(\displaystyle{ \frac{2x-2}{x+1} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1) \ge 0}\)
Stąd \(\displaystyle{ x in (- infty;-1 ] vee [1;+ infty )}\), co filtrujemy z przedziałem i dziedziną, więc \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)
Tak więc rozwiązaniem ostatecznym jest: \(\displaystyle{ x in (-1;1) vee [3;+ infty )}\)
Ostatnio zmieniony 14 sie 2011, o 12:46 przez kamil13151, łącznie zmieniany 4 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 13 sie 2011, o 22:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chrzanów
- Podziękował: 1 raz
bezwględność w nierówności kwadratowej
-- 14 sie 2011, o 12:13 --
1. przypadek rozumiem bo wyszło mi tak samo, ale w drugim nie wiem dlaczego zmieniłeś tam tak po prostu znak zamiast rozpisać to wszystko??
Nie wiem dlaczego po rozpisaniu wychodzi mi inny wynik.
Wygląda to tak:
\(\displaystyle{ \frac{-x^2+4x-3}{x^2-1} \le 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{-x^2+4x-3}{x^2-1}}\) \(\displaystyle{ - \frac{x^2-1}{x^2-1} \le 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{-2x^2+4x-2}{x^2-1} \le 0}\)
\(\displaystyle{ (-2x^2+4x-2)(x^2-1) \le 0}\)
\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x^2-1) \le 0}\)
\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x-1)(x+1) \le 0}\)
coś takiego mi wychodzi i nie wiem jak do tego poprawnie wykres narysować?? można prosić o pomoc??
1. przypadek rozumiem bo wyszło mi tak samo, ale w drugim nie wiem dlaczego zmieniłeś tam tak po prostu znak zamiast rozpisać to wszystko??
Nie wiem dlaczego po rozpisaniu wychodzi mi inny wynik.
Wygląda to tak:
\(\displaystyle{ \frac{-x^2+4x-3}{x^2-1} \le 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{-x^2+4x-3}{x^2-1}}\) \(\displaystyle{ - \frac{x^2-1}{x^2-1} \le 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{-2x^2+4x-2}{x^2-1} \le 0}\)
\(\displaystyle{ (-2x^2+4x-2)(x^2-1) \le 0}\)
\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x^2-1) \le 0}\)
\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x-1)(x+1) \le 0}\)
coś takiego mi wychodzi i nie wiem jak do tego poprawnie wykres narysować?? można prosić o pomoc??
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
bezwględność w nierówności kwadratowej
Ehh, co się ze mną dzieje, mały błąd z tym był, już poprawiłem wyżej, sorki .
\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x-1)(x+1) \le 0\\\\
-2(x-1)^3(x+1) \le 0}\)
Tak więc, zaczynamy od dołu prawej strony, ponieważ współczynnik jest ujemny. Przechodzimy przez 1 i -1, nie odbijamy, ponieważ pierwiastki są nieparzysto-krotne.
Stąd \(\displaystyle{ x in (- infty;-1 ] vee [1;+ infty )}\)
\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x-1)(x+1) \le 0\\\\
-2(x-1)^3(x+1) \le 0}\)
Tak więc, zaczynamy od dołu prawej strony, ponieważ współczynnik jest ujemny. Przechodzimy przez 1 i -1, nie odbijamy, ponieważ pierwiastki są nieparzysto-krotne.
Stąd \(\displaystyle{ x in (- infty;-1 ] vee [1;+ infty )}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 13 sie 2011, o 22:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chrzanów
- Podziękował: 1 raz
bezwględność w nierówności kwadratowej
Dobra już wszystko wiem;) Nie wiem czemu ale coś mi się w toku rozumowania poprzestawiało i w wyniku końcowym zamiast szukać części wspólnej to ja to zsumowałem.
Dzięki za pomoc. Zapewne odezwę się tu jeszcze nie raz xD
Podrawiam
-- 17 sie 2011, o 21:31 --
Jeszcze raz rozgrzebie ten temat bo nie wiem wiem jednej rzeczy;/
Patrząc na drugi przypadek: dla którego moduł = \(\displaystyle{ -x^2+4x-3 dla x \in (1;3)}\)
po przekształceniach na końcu mamy postać:
\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x-1)(x+1) \le 0\\\\
-2(x-1)^3(x+1) \le 0}\)
i po narysowaniu parabolki wychodzi że \(\displaystyle{ x \le -1 \vee x \ge 1}\)
po wyszukaniu części wspólnej z założeniem że \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)
wychodzi część wspólna \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)
tak więc dla pierwszego przypadku mamy:
\(\displaystyle{ x \in (-1;1) \cup <3; \infty )}\)
a dla drugiego:
\(\displaystyle{ \in (1;3)}\)
\(\displaystyle{ TO DLACZEGO W ROZWIAZANIU JEST: X \in (-1;1) \cup <3; \infty ) ??!!}\)-- 17 sie 2011, o 21:37 --wybaczcie ale nie moge tego zrozumieć?? przecież x spełnia wymagania dla stawianych mu warunków, tzn dla jakich x sciągając moduł zmieniamy znaki, a dla jakich nie i skąd my tam w wyniku mamy przedział (-1;1) zamiast (1;3) bo ten drugi przedział z pierwszego przypadku mi się zgadza i nie mam co do niego zastrzeżeń ale mam problem z tym drugim.
Wszystko wskazuje mi na to że parabole źle rysuję, ale pytanie dlaczego źle??
współczynnik "a" jest ujemny więc parabola ma ramiona w dół które przechodza przez 1 i -1 i zaznaczam odbszar pod osią na lewo od -1 i na prawo od 1, a to zadanie tak wygląda jakby parabola miała isc w górę?? i tutaj mam pytanie czy dobrze to rysuje??
Dzięki za pomoc. Zapewne odezwę się tu jeszcze nie raz xD
Podrawiam
-- 17 sie 2011, o 21:31 --
Jeszcze raz rozgrzebie ten temat bo nie wiem wiem jednej rzeczy;/
Patrząc na drugi przypadek: dla którego moduł = \(\displaystyle{ -x^2+4x-3 dla x \in (1;3)}\)
po przekształceniach na końcu mamy postać:
\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x-1)(x+1) \le 0\\\\
-2(x-1)^3(x+1) \le 0}\)
i po narysowaniu parabolki wychodzi że \(\displaystyle{ x \le -1 \vee x \ge 1}\)
po wyszukaniu części wspólnej z założeniem że \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)
wychodzi część wspólna \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)
tak więc dla pierwszego przypadku mamy:
\(\displaystyle{ x \in (-1;1) \cup <3; \infty )}\)
a dla drugiego:
\(\displaystyle{ \in (1;3)}\)
\(\displaystyle{ TO DLACZEGO W ROZWIAZANIU JEST: X \in (-1;1) \cup <3; \infty ) ??!!}\)-- 17 sie 2011, o 21:37 --wybaczcie ale nie moge tego zrozumieć?? przecież x spełnia wymagania dla stawianych mu warunków, tzn dla jakich x sciągając moduł zmieniamy znaki, a dla jakich nie i skąd my tam w wyniku mamy przedział (-1;1) zamiast (1;3) bo ten drugi przedział z pierwszego przypadku mi się zgadza i nie mam co do niego zastrzeżeń ale mam problem z tym drugim.
Wszystko wskazuje mi na to że parabole źle rysuję, ale pytanie dlaczego źle??
współczynnik "a" jest ujemny więc parabola ma ramiona w dół które przechodza przez 1 i -1 i zaznaczam odbszar pod osią na lewo od -1 i na prawo od 1, a to zadanie tak wygląda jakby parabola miała isc w górę?? i tutaj mam pytanie czy dobrze to rysuje??
-
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 29 kwie 2011, o 15:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 23 razy
bezwględność w nierówności kwadratowej
Moim zdaniem to rozwiązanie jest złe.TO DLACZEGO W ROZWIAZANIU JEST:\(\displaystyle{ X \in (-1;1) \cup <3; \infty )}\) ??!!
kamil13151 do zbioru rozwiązań nie dodał przedziału \(\displaystyle{ (1;3)}\) - czyli wyniku rozwiązania drugiej nierówności.
Jeśli obliczenia kamil13151 są słuszne, to zbiorem rozwiązań będzie każda liczba rzeczywista za wyjątkiem \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\)
Natomiast z całą pewnością mogę powiedzieć, że po podstawieniu \(\displaystyle{ 2}\) nierówność jest spełniona.
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Pomógł: 1 raz
bezwględność w nierówności kwadratowej
A więc warunki 1 i 2 są dobre tylko suma ich wychodzi \(\displaystyle{ x \in \left( -1,1\right) \cup \left( 1, \infty \right)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 270
- Rejestracja: 19 wrz 2011, o 17:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 17 razy
bezwględność w nierówności kwadratowej
hmm co by tu zrobić żeby się nie narobić...
\(\displaystyle{ \frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \leq 1 \\
\frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \leq \frac{x^{2}-1}{x^{2}-1} \\
\frac{|x^{2}-4x+3|-x^{2}+1}{x^{2}-1} \leq 0 \\}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-4x+3 \geq 0 <=> x \in (- \infty ; 1> \cup <3; + \infty) \\
x^{2}-4x+3 \leq 0 <=> x \in (1;3) \\
1^{o} x \in (- \infty ; 1> \cup <3; + \infty ) \\}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-4x+3-x^{2}+1}{x^{2}-1} \leq 0 \\
\frac{-4x+4}{x^{2}-1} \leq 0 \\
-4x+4 \geq 0 \wedge x^{2}-1 <0 \\
x \leq 1 \wedge x \in (-1;1) \\
x \in (-1;1) \\}\)
\(\displaystyle{ lub \\
-4x+4 \leq 0 \wedge x^{2}-1 >0 \\
x \geq 1 \wedge x \in (- \infty; -1) \cup (1; + \infty ) \\
\ x \in (1; + \infty) \\
czyli \ (1; + \infty) \cup (-1;1) = (-1; + \infty) \backslash \{ 1 \}}\)
\(\displaystyle{ 2^{o} x \in (1;3) \\
\frac{-x^{2}+4x-3-x^{2}+1}{x^{2}-1} \leq 0 \\
\frac{-2x^{2}+4x-2}{x^{2}-1} \leq 0 \\}\)
\(\displaystyle{ -2x^{2}+4x-2<0 <=> x \in R \backslash \{ 1 \} \\
x^{2}-1 >0 <=> x \in (- \infty; -1) \cup (1; + \infty) \\}\)
\(\displaystyle{ [(- \infty; -1) \cup (1; + \infty) ] \cap [R \backslash \{ 1 \} ]=(- \infty; -1) \cup (1; + \infty)}\)
lub
\(\displaystyle{ \{ 1 \} \cap (-1;1) = \emptyset}\)
końcowa odpowiedź:
\(\displaystyle{ [(-1; + \infty) \backslash [ R \backslash \{ 1 \} ]] \cup
(- \infty; -1) \cup (1; + \infty) = (- \infty; -1) \cup (1; + \infty)}\)
\(\displaystyle{ \frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \leq 1 \\
\frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \leq \frac{x^{2}-1}{x^{2}-1} \\
\frac{|x^{2}-4x+3|-x^{2}+1}{x^{2}-1} \leq 0 \\}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-4x+3 \geq 0 <=> x \in (- \infty ; 1> \cup <3; + \infty) \\
x^{2}-4x+3 \leq 0 <=> x \in (1;3) \\
1^{o} x \in (- \infty ; 1> \cup <3; + \infty ) \\}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-4x+3-x^{2}+1}{x^{2}-1} \leq 0 \\
\frac{-4x+4}{x^{2}-1} \leq 0 \\
-4x+4 \geq 0 \wedge x^{2}-1 <0 \\
x \leq 1 \wedge x \in (-1;1) \\
x \in (-1;1) \\}\)
\(\displaystyle{ lub \\
-4x+4 \leq 0 \wedge x^{2}-1 >0 \\
x \geq 1 \wedge x \in (- \infty; -1) \cup (1; + \infty ) \\
\ x \in (1; + \infty) \\
czyli \ (1; + \infty) \cup (-1;1) = (-1; + \infty) \backslash \{ 1 \}}\)
\(\displaystyle{ 2^{o} x \in (1;3) \\
\frac{-x^{2}+4x-3-x^{2}+1}{x^{2}-1} \leq 0 \\
\frac{-2x^{2}+4x-2}{x^{2}-1} \leq 0 \\}\)
\(\displaystyle{ -2x^{2}+4x-2<0 <=> x \in R \backslash \{ 1 \} \\
x^{2}-1 >0 <=> x \in (- \infty; -1) \cup (1; + \infty) \\}\)
\(\displaystyle{ [(- \infty; -1) \cup (1; + \infty) ] \cap [R \backslash \{ 1 \} ]=(- \infty; -1) \cup (1; + \infty)}\)
lub
\(\displaystyle{ \{ 1 \} \cap (-1;1) = \emptyset}\)
końcowa odpowiedź:
\(\displaystyle{ [(-1; + \infty) \backslash [ R \backslash \{ 1 \} ]] \cup
(- \infty; -1) \cup (1; + \infty) = (- \infty; -1) \cup (1; + \infty)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
bezwględność w nierówności kwadratowej
HaveYouMetTed, źle.
Także końcowy wynik to: \(\displaystyle{ x \in (-1;1) \vee (1;+ \infty )}\)
Na potwierdzenie moich słów:
Tak jest, zapomniałem przedziału dodać, ale na pewno zbiorem rozwiązania nie będzie \(\displaystyle{ R - \left\{ -1;1\right\}}\).chuckstermajster pisze:Moim zdaniem to rozwiązanie jest złe.TO DLACZEGO W ROZWIAZANIU JEST:\(\displaystyle{ X \in (-1;1) \cup <3; \infty )}\) ??!!
kamil13151 do zbioru rozwiązań nie dodał przedziału \(\displaystyle{ (1;3)}\) - czyli wyniku rozwiązania drugiej nierówności.
Jeśli obliczenia kamil13151 są słuszne, to zbiorem rozwiązań będzie każda liczba rzeczywista za wyjątkiem \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\)
Natomiast z całą pewnością mogę powiedzieć, że po podstawieniu \(\displaystyle{ 2}\) nierówność jest spełniona.
Także końcowy wynik to: \(\displaystyle{ x \in (-1;1) \vee (1;+ \infty )}\)
Na potwierdzenie moich słów:
Kod: Zaznacz cały
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28|x^2-4x%2B3|%29%2F%28x^2-1%29%3C%3D1