Ekstrema funkcji

gilus0022 · Post autor: **gilus0022** » 13 sie 2011, o 11:33

Witam
Mam taki prosty przykład, chcę się tylko upewnić i sprawdzić czy jest dobrze:

\(\displaystyle{ f(x,y) = 6xy - x^{2} y - x y^{2} \\ \\
\frac{df}{dx} = 6y-2xy-y^{2} \\
\frac{df}{dy} = 6x-x^{2}-2xy \\ \\}\)

Czyli rozwiązuje taki układ równań:
\(\displaystyle{ \\ \\ \begin{cases} 6y-2xy-y^{2} =0 \ /:y \\6x-2xy-x^{2}=0\end{cases} \\ \\
6-2x-y=0 \\
y=6-2x\\\\}\)

Podstawiam to do drugiego równania:
\(\displaystyle{ 6x-12x+4x^{2}-x^{2}=0 \\
-6x+3x^{2}=0 \\
3x^{2}-6x=0 \\
3x(x-2)=0 \\
x=0 \ v \ x=2 \\
y=6 \ v \ y=2}\)

I teraz chodzi mi o to, czy mam 2 punkty stacjonarne (P1[0,6], P2[2,2]) czy może sprawdzam wszystkie możliwe kombinacje (P1[0,6], P2[2,2], P3[0,2], P4[2,6]) ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 sie 2011, o 11:34

\(\displaystyle{ y=0}\)

\(\displaystyle{ x=0}\)

a np takie coś pominąłeś. DLaczego? Pomyśl

gilus0022 · Post autor: **gilus0022** » 13 sie 2011, o 12:33

Pominąłem dlatego bo taka para nie spełniała równania:

\(\displaystyle{ 6-2x-y=0}\)

Czyli wychodzi na to, że nie moge podzielić przez y?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 sie 2011, o 12:35

Przy dzieleniu zakładasz, że \(\displaystyle{ y \neq 0}\). Ale ten przypadek, gdy \(\displaystyle{ y=0}\) też musisz zbadać

gilus0022 · Post autor: **gilus0022** » 13 sie 2011, o 12:39

Ale odnośnie mojego pytania. Badam teraz tylko 3 punkty (razem z tym [0,0]) czy wszystkie kombinacje (5 punktów razem z tym [0,0])?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 sie 2011, o 12:41

Wszystkie kombinacje, które spełniają początkowy układ równań. Chyba umiesz sprawdzić czy dana para spełnia układ równań, nie?

gilus0022 · Post autor: **gilus0022** » 13 sie 2011, o 12:52

Taa... tu jest prosty przykład bo mam po 2 rozwiązania dla x i y, więc są 4 opcje. Ale gdyby były po 3 lub 4 rozwiązania to wszystkich opcji byłoby już odpowiednio 9 i 16.

Więc napisze dokładniej, żeby łatwiej było zrozumieć: y=6 wyszło mi dla x=0, a y=2 wyszło gdy za x wstawiłem 2.

Myśl była taka, że w takim razie rozpatruje tylko te 2 przypadki (plus ten [0,0] oczywiście) i nawet jak będe miał po 5 rozwiązań dla x i y to nie będe ich łączył i sprawdzał 25 razy...

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 sie 2011, o 12:56

Otrzymujesz przecież \(\displaystyle{ x=0}\) . Wstawiasz do początkowego układu i co dostajesz? Dwa \(\displaystyle{ y}\)-ki, nie? Więc masz dwie pary w tym momencie. Dlaczego mamy niby teraz odwracać te współrzędne?

gilus0022 · Post autor: **gilus0022** » 13 sie 2011, o 13:12

Tzn. ja wstawiałem otrzymany x do równania:

\(\displaystyle{ y=6-2x}\)

Stąd wychodzi tylko 6.

Mogłeś od razu pisać, że tu źle wstawiałem i powinienem do równania przy pochodnych 1. rzędu. Jeśli o to chodzi to już jasne...