Całka potrójna. Objętość kuli

[falke]

Treść zadania:
Oblicz całkę \(\displaystyle{ \iiint 4 \sqrt{x^2+y^2+z^2}}\) po bryle\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=4}\) ?

Bryła to kula, więc przeszedłem na współrzędne sferyczne.
wyszło mi:
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \beta \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ J=r^2\sin \beta}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{2 \pi }\int\limits_{0}^{2 \pi } \left( 4 \sqrt{r^2} \ \cdot r^2\sin \beta \right) dr d \alpha d \beta}\)

No i właśnie tu zaczyna się problem bo wynik wychodzi zero, coś jest nie tak ale nie wiem co. Gdzie popełniam błąd?
czy granica \(\displaystyle{ \beta}\) jest zła, bo jak zastosuje:
\(\displaystyle{ 0 \le \beta \le \pi}\) to wychodzi \(\displaystyle{ 64 \pi}\)

[Chromosom]

w odpowiedniej zależności pozwalającej na zamianę zmiennych w całce wielokrotnej występuje wartość bezwzględna jakobianu; dodatnia wartość całki wynika zresztą z dodatniej wartości funkcji podcałkowej

[Nakahed90]

Poczytaj jeszcze raz o współrzędnych sferycznych i spróbuj ponownie określić przedział dla kąta \(\displaystyle{ \Beta}\)

[falke]

odległość zenitalna \(\displaystyle{ 0\leqslant\theta\leqslant\pi}\) czyli miarę kąta między wektorem \(\displaystyle{ \overrightarrow{OM}}\) a dodatnią półosią \(\displaystyle{ OZ}\),

Dla uniknięcia wieloznaczności przyjmuje się, że dla punktów znajdujących się na osi OZ kąt φ ma miarę 0 i podobnie, wszystkie współrzędne sferyczne punktu O są równe 0.

Tak więc przedział będzie wynosił:

\(\displaystyle{ 0 \le \beta \le \pi}\)
A dalsze obliczenia będą następujące:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{2 \pi } \ 8 \cdot r^3 dr d \alpha}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2} \ 16 \pi \cdot r^3 dr}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ 16 \pi :4 \cdot (16)}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ 64 \pi}\)

[Chromosom]

dobrze

[falke]

Dzięki! oczywiście przyznałem wam po pochwale.

[kruszewski]

Objętość kuli \(\displaystyle{ V= \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r ^{3}}\)
Gdzieś ta trójka przepadła.
W.Kr.

[Chromosom]

kruszewski, gdybyśmy obliczali objętość kuli, całka wyglądałaby następująco:

\(\displaystyle{ \iiint\limits_V\,\text dx\,\text dy\,\text dz}\)

wtedy w jakobianie pojawiałby się czynnik \(\displaystyle{ r^2}\), który po całkowaniu prowadziłby do otrzymania czynnika \(\displaystyle{ \tfrac13}\). Tutaj jednak funkcja podcałkowa ma inną postać, co prowadzi do innego rezultatu. Wynik można interpretować jako np. masę bryły o rozkładzie gęstości określonym funkcją podcałkową.

[kruszewski]

Oczywista, i użycie określenia "objętość kuli" jest tu nieuzasadniona.
Stąd moje pytanie o tą trójkę.
Ukłony,
W.Kr.

[Evisando]

Dzień dobry czy jeśli byśmy założyli że \(\displaystyle{ z>0}\) to czy granica całkowania zmieni się na \(\displaystyle{ 0< \beta < \frac{ \pi }{2}}\) ? Proszę o szybką odpowiedz. Pytam ponieważ do końca rozumiem wyznaczania stałych całkowania dla \(\displaystyle{ \beta}\) Jak by ktoś mógł mnie naprowadzić byłbym wdzięczny