monotoniczność finkcji w przedziale

kamilo_han · Post autor: **kamilo_han** » 12 sie 2011, o 13:33

Witam,
proszę o podpowiedż od czego wyjść chcąc zbadać monotonicznośc funkcji

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\sin x}{x}}\)

w przedziale \(\displaystyle{ \left(0,\frac{\pi}{2}\right]}\)?

Sorki, przedział powinien być domknięty z prawej.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 12 sie 2011, o 13:36

Od policzenia pierwszej pochodnej tej funkcji

kamilo_han · Post autor: **kamilo_han** » 12 sie 2011, o 13:49

Liczyłem i zatrzymuje się na określeniu znaku licznika

\(\displaystyle{ x \cos x - \sin x}\)

Czy brak miejsc zerowych w przedziale \(\displaystyle{ \left(0;\frac{\pi}{2}\right]}\)
i dodatniość wszystkich składników licznika wystarczają do stwierdzenia,
że funkcja jest rosnąca?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 12 sie 2011, o 13:56

Nie. Przecież odejmowanie masz....

kamilo_han · Post autor: **kamilo_han** » 12 sie 2011, o 14:17

Jakieś pomysły?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 12 sie 2011, o 14:20

\(\displaystyle{ g(x)=x \cos x - \sin x}\)

A zbadaj przebieg takiej funkcji. Może coś ładnego wyjdzie.

A jak nie to coś innego się wymyśli

kamilo_han · Post autor: **kamilo_han** » 12 sie 2011, o 15:15

Da się wykorzystując \(\displaystyle{ \tg}\).

\(\displaystyle{ x\cos x - \sin x=x\cos x - \cos x \tg x = \cos x (x-\tg x)}\)

Dla \(\displaystyle{ x\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)}\) mamy \(\displaystyle{ \cos x > 0}\) i \(\displaystyle{ x<\tg x}\),
czyli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest malejąca.

Dzięki.
Pozdrawiam.