\(\displaystyle{ f(x)=x ^{100}+ 2x ^{50}}\)
Mi wyszło że \(\displaystyle{ f^\prime(x)=0 \Leftrightarrow x=0}\)
a dla \(\displaystyle{ x = 0\quad f^{\prime\prime}(x)=0}\), czyli z II warunku wystarczającego istnienia ekstremum wynika, że ekstremum lokalne właściwe nie istnieje.
Nie wiem czemu ale w odpowiedziach jest napisane że w punkcie \(\displaystyle{ x = 0}\) jest minimum.
Kto ma rację, ja, czy książka?
Znajdź ekstrema
-
- Użytkownik
- Posty: 184
- Rejestracja: 16 cze 2010, o 00:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 80 razy
Znajdź ekstrema
Ostatnio zmieniony 13 sie 2011, o 22:05 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: klamry[latex][/latex]
Powód: klamry
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Znajdź ekstrema
\(\displaystyle{ f(x)=x ^{100}+ 2x ^{50}}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb{R}} \ f(x) \ge 0}\). A zatem, jeżeli istnieją punkty, w których ta funkcja się zeruje, to będą to minima globalne. Ale może istnieć conajwyżej tylko jeden taki punkt, bo funkcja jest ściśle rosnąca dla \(\displaystyle{ x>0}\) i ściśle malejąca dla \(\displaystyle{ x<0}\). Nietrudno zauważyć, że jest to \(\displaystyle{ x=0}\). Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = + \infty}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = + \infty}\). Stąd otrzymujemy w połączeniu ze ścisłą monotonicznością, że funkcja nie posiada maksimów.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb{R}} \ f(x) \ge 0}\). A zatem, jeżeli istnieją punkty, w których ta funkcja się zeruje, to będą to minima globalne. Ale może istnieć conajwyżej tylko jeden taki punkt, bo funkcja jest ściśle rosnąca dla \(\displaystyle{ x>0}\) i ściśle malejąca dla \(\displaystyle{ x<0}\). Nietrudno zauważyć, że jest to \(\displaystyle{ x=0}\). Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = + \infty}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = + \infty}\). Stąd otrzymujemy w połączeniu ze ścisłą monotonicznością, że funkcja nie posiada maksimów.
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Znajdź ekstrema
No niestety, ale nie ma takiego warunku.a dla x = 0 f'(x)=0, czyli z II warunku wystarczającego istnienia ekstremum wynika, że ekstremum lokalne właściwe nie istnieje.
-
- Użytkownik
- Posty: 184
- Rejestracja: 16 cze 2010, o 00:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 80 razy
Znajdź ekstrema
Znalazłem takie twierdzenie
dla n parzystego:
jeżeli
\(\displaystyle{ f ^{(n)} (x _{0} ) < 0}\)
to funkcja ma w punkcie\(\displaystyle{ x_{0}}\) minimum lokalne właściwe
a w przypadku gdy
\(\displaystyle{ f ^{(n)} (x _{0} ) > 0}\)
to funkcja ma w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\)maksimum lokalne właściwe
\(\displaystyle{ x_{0}}\) to punkt w którym\(\displaystyle{ f'(x)=0}\)
Dlatego pomyślałem, że nie ma ekstremum dla
\(\displaystyle{ f ^{(n)} (x _{0} ) = 0}\), co chyba zostało przeze mnie naciągnięte
dla n parzystego:
jeżeli
\(\displaystyle{ f ^{(n)} (x _{0} ) < 0}\)
to funkcja ma w punkcie\(\displaystyle{ x_{0}}\) minimum lokalne właściwe
a w przypadku gdy
\(\displaystyle{ f ^{(n)} (x _{0} ) > 0}\)
to funkcja ma w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\)maksimum lokalne właściwe
\(\displaystyle{ x_{0}}\) to punkt w którym\(\displaystyle{ f'(x)=0}\)
Dlatego pomyślałem, że nie ma ekstremum dla
\(\displaystyle{ f ^{(n)} (x _{0} ) = 0}\), co chyba zostało przeze mnie naciągnięte