calka niewymierna

[ak44]

Po raz kolejny, mam do rozwiazania calke wymierna, po raz kolejny potrzebuje wskazowki, aby moc wejsc na wlasciwy trop i wreszcie ja rozwiazac. Oto ona: \(\displaystyle{ \int\frac{x^{9}}{\sqrt{3-x^{4}}} \mbox{d}x}\)

[miodzio1988]

Podstawienie za to co masz pod mianownikiem

[ak44]

hmm razem z pierwiastkiem?...bo jak podstawiam wszystko to raczej ta pochodna jest zbyt oporna:/..

[miodzio1988]

Nie. Póki co pierwiastek zostaw

[ak44]

hmm...po podstawieniu, jak wyzej mi wskazano zatrzymuje sie przy takiej calce: \(\displaystyle{ \int\frac{(3-t)^{\frac{3}{2}}}{4\sqrt{t}} \mbox{d}t}\)

za CHINY nie moge dalej z nia ruszyc:/

[miodzio1988]

uuu myślałem, że coś fajniejszego wyjdzie. ( smutny)

Ale sytuacja nie jest taka fatalna.

33970.htm

Może takie cudo zadziała?

[Funktor]

... on.en.html jak się tutaj wpisze...

Sądząc po tym jaki jest wynik, to chyba jednak łatwo się nie da...

[aalmond]

Proponuję od razu podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{3-x ^{4} }{x ^{4} }=t ^{2}}\)
całka po podstawieniu:
\(\displaystyle{ -\frac{9}{2} \int_{}^{} \frac{dt}{(1+t ^{2}) ^{3} }}\)

[ak44]

z calkowania rozniczki dwumiennej skorzystalem na tyle, ze wiem co podstawic za t....jednak teraz, jakim cudem uzyskac z tego podstawienia jakies "ludzkie" liczby, tzn moglbys napisac jak policzyles pochodna ze wyszla ci taka a nie inna calka?

[aalmond]

\(\displaystyle{ \frac{3-x ^{4} }{x ^{4} }=t ^{2} \\ \\
x ^{4} = \frac{3}{1+t ^{2} } \\ \\
4x ^{3}dx = \frac{-6t}{(1+ t^{2}) ^{2} }dt \\ \\
x ^{3}dx = \frac{-3t}{2(1+ t^{2}) ^{2} }dt}\)

[Mariusz M]

Ja bym całkował przez części

\(\displaystyle{ \int{\frac{x^9}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}=\int{-\frac{1}{2}x^6\cdot \frac{-2x^3}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{x^9}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}x^6\sqrt{3-x^4}+\int{3x^5\sqrt{3-x^4}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{x^9}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}x^6\sqrt{3-x^4}+\int{\frac{9x^5-3x^9}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}\\
4\int{\frac{x^9}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}x^6\sqrt{3-x^4}+\int{\frac{9x^5}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{x^9}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{8}x^6\sqrt{3-x^4}+\frac{9}{4}\int{\frac{x^5}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{x^5}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}=\int{-\frac{1}{2}x^2\cdot \frac{-2x^3}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{x^5}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}x^2\sqrt{3-x^4}+\int{x\sqrt{3-x^4}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{x^5}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}x^2\sqrt{3-x^4}+\int{\frac{3x-x^5}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}\\
2\int{\frac{x^5}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}x^2\sqrt{3-x^4}+\int{\frac{3x}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{x^5}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{4}x^2\sqrt{3-x^4}+\frac{3}{2}\int{\frac{x}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{x^5}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{4}x^2\sqrt{3-x^4}+\frac{3}{4}\int{\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}x}{\sqrt{1-\left(\frac{x^2}{\sqrt{3}}\right)^2}}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{x^5}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{4}x^2\sqrt{3-x^4}+\frac{3}{4}\arcsin{\left(\frac{x^2}{\sqrt{3}}\right)}\\
\int{\frac{x^9}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{8}x^6\sqrt{3-x^4}-\frac{9}{16}x^2\sqrt{3-x^4}+\frac{27}{16}\arcsin{\left(\frac{x^2}{\sqrt{3}}\right)}+C\\
\int{\frac{x^9}{\sqrt{3-x^4}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{16}\left(\left(2x^6+9x^2\right)\sqrt{3-x^4}-27\arcsin{\left(\frac{x^2}{\sqrt{3}}\right)}\right)+C}\)